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時空 解 さんの日記

 
2021
8月 18
(水)
11:01
数検、準1級1次、過去問。x=1+7i2 の時 x3+2x2+7 の値は?
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。

数検の提携会場受検が今月の28日に迫っています。
私もボチボチと2級2次検定の学習を進めています。ここの会員の方の中にも、数検の受検に向けて学習を進めておられる方がいらっしゃいます。

数検に挑んでいるみなさん、一緒に頑張りましょうね!

昨日は、そんな会員の方からコメントを頂きました。

・コメントへのリンクはこちら

コメントの内容を一番よく表している一文は
「上手く式変形すれば、楽に計算できるものなのか?」
と言ったところでしょう。

数検の準1級の問題となると、たとえ1次であっても、ただ計算をすれば良い、と言うものでは無くなってくるようですね。
なにも考えずにまともに計算を始めると、時間が掛かってしまう場合もある - この点がちょっと怖いです。

会員の方から教えて頂いた問題は、次の通りです。(これは実際に過去に出題された過去問です)
 i を虚数単位とします。 x=1+7i2 のとき、x3+2x2+7 の値を求めなさい。
皆さんでしたら、この問題をどう攻略しますか? …ではさっそく問題に取り掛かりましょう!

  …と  その前に…
    ちょっと待って下さいね! うーむ01

この問題を解く前に次の問題を考えてみてください。front-Q とでもしておきましょう。
 
front-Q
 i を虚数単位とします。 3次方程式 x3+2x2+9=0 の解の一つは x=1+11i2 であるか否か。
   解の一つである場合は ○。そうでない場合は × で答えなさい。

この front-Q の解法はピンくるでしょうか?
高校数学のIIで学習する「高次方程式」の問題ですよね。

答えは ○ です。

求め方は簡単で、実際に x を与式に代入して、その値が 0 になるか否かを確認すれば良いです。

でも、これだと虚数単位を含む分数計算を行うことになります。もうちょっと上手い方法はないかなぁ…と、皆さんも感じられると思います。

他に考えられる方法としては、実数解がどんな値か当たりを付ける、というものがあるでしょう。
実は、この x3+2x2+9(x+3)(x2x+3) と因数分解できます。

 x3+2x2+9=0 となる x の実数値は?

この問いについても、x に実数を代入して、式の値が 0 になるのかを確認する必要があります。
でも、計算は簡単で、しかも3つ程度で済みます。

まず x に代入するのは整数として、負の数が妥当だということは分かりますよね?
それが分かったのなら、後は下記の計算をするだけです。
 
x=1 の時は x3+2x2+9=10 
x=2 の時は x3+2x2+9=9 
x=3 の時は x3+2x2+9=0 

つまり、
 
x=3

x3+2x2+9=0
 
の一つの実数解だと分かります。

次に (x+3) で  (x3+2x2+9) を割ります。

割り算の結果は
x2x+3
です。

これを2次方程式の解公式で解くと
x=1±11i2 
となり、 front-Q の答えは ○ だと分かります。

ここまでで、問題を考える時に試行錯誤する必要がある内容は
 
・直接 x3+2x2+9 に  x=1+11i2 を代入して計算する方法
・高次方程式のテクニックを使って確認する方法

上記2つだと、当たりが付くのではないでしょうか。


ではこの2つを踏まえて、もと問題に戻りましょう。
 i を虚数単位とします。 x=1+7i2 のとき、x3+2x2+7 の値を求めなさい。


まず初めに、与えられた x を式に代入したら 0 になるか否かの当たりをつけたいですよね。
ですので、下記を実施します。
 
x=1 の時は x3+2x2+7=8 
x=2 の時は x3+2x2+7=7 
x=3 の時は x3+2x2+7=2 

この結果を見て、実数解は整数でないことがわかりますよね。2<x<3 です。

この時点で x3+2x2+7 の因数分解はキレイな形ではできないことが想像できます。

だとすると、この問題は
x=1+7i2
を代入して計算しても、0 ではない値が出てくる可能性が高いだろうなぁ…と思えませんか?
まぁこの判断はちょっと強引かも知れませんけどね。

ともかくこの時点で、私なら 0 にはならないな、と判断して直接式に x を代入、計算をはじめます。

まずは x2 を求めましょう。
(1+7i2)2=3+7i2

次に x2x を行います。
(3+7i2)1+7i2=57i2


最後に上の2つ結果を持って x3+2x2+7 を計算します。

皆さんならどう致しますか?
もっとよい思考錯誤・手順があるようでしたら、コメントを頂けるとありがたいです。

では今日も休日を始めています。休日の充実こそ、人生の充実です。

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