時空 解 さんの日記
2021
8月
18
(水)
11:01
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。
数検の提携会場受検が今月の28日に迫っています。
私もボチボチと2級2次検定の学習を進めています。ここの会員の方の中にも、数検の受検に向けて学習を進めておられる方がいらっしゃいます。
数検に挑んでいるみなさん、一緒に頑張りましょうね!
昨日は、そんな会員の方からコメントを頂きました。
・コメントへのリンクはこちら
コメントの内容を一番よく表している一文は
「上手く式変形すれば、楽に計算できるものなのか?」
と言ったところでしょう。
数検の準1級の問題となると、たとえ1次であっても、ただ計算をすれば良い、と言うものでは無くなってくるようですね。
なにも考えずにまともに計算を始めると、時間が掛かってしまう場合もある - この点がちょっと怖いです。
会員の方から教えて頂いた問題は、次の通りです。(これは実際に過去に出題された過去問です)
…と その前に…
ちょっと待って下さいね!
この問題を解く前に次の問題を考えてみてください。front-Q とでもしておきましょう。
この front-Q の解法はピンくるでしょうか?
高校数学のIIで学習する「高次方程式」の問題ですよね。
答えは ○ です。
求め方は簡単で、実際に x を与式に代入して、その値が 0 になるか否かを確認すれば良いです。
でも、これだと虚数単位を含む分数計算を行うことになります。もうちょっと上手い方法はないかなぁ…と、皆さんも感じられると思います。
他に考えられる方法としては、実数解がどんな値か当たりを付ける、というものがあるでしょう。
実は、この x3+2x2+9 は (x+3)(x2−x+3) と因数分解できます。
x3+2x2+9=0 となる x の実数値は?
この問いについても、x に実数を代入して、式の値が 0 になるのかを確認する必要があります。
でも、計算は簡単で、しかも3つ程度で済みます。
まず x に代入するのは整数として、負の数が妥当だということは分かりますよね?
それが分かったのなら、後は下記の計算をするだけです。
つまり、
次に (x+3) で (x3+2x2+9) を割ります。
割り算の結果は
これを2次方程式の解公式で解くと
x=1±√11i2
となり、 front-Q の答えは ○ だと分かります。
ここまでで、問題を考える時に試行錯誤する必要がある内容は
上記2つだと、当たりが付くのではないでしょうか。
ではこの2つを踏まえて、もと問題に戻りましょう。
まず初めに、与えられた x を式に代入したら 0 になるか否かの当たりをつけたいですよね。
ですので、下記を実施します。
この結果を見て、実数解は整数でないことがわかりますよね。2<x<3 です。
この時点で x3+2x2+7 の因数分解はキレイな形ではできないことが想像できます。
だとすると、この問題は
x=1+√7i2
を代入して計算しても、0 ではない値が出てくる可能性が高いだろうなぁ…と思えませんか?
まぁこの判断はちょっと強引かも知れませんけどね。
ともかくこの時点で、私なら 0 にはならないな、と判断して直接式に x を代入、計算をはじめます。
まずは x2 を求めましょう。
(1+√7i2)2=−3+√7i2
次に x2⋅x を行います。
(−3+√7i2)⋅1+√7i2=−5−√7i2
最後に上の2つ結果を持って x3+2x2+7 を計算します。
皆さんならどう致しますか?
もっとよい思考錯誤・手順があるようでしたら、コメントを頂けるとありがたいです。
では今日も休日を始めています。休日の充実こそ、人生の充実です。
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数検の提携会場受検が今月の28日に迫っています。
私もボチボチと2級2次検定の学習を進めています。ここの会員の方の中にも、数検の受検に向けて学習を進めておられる方がいらっしゃいます。
数検に挑んでいるみなさん、一緒に頑張りましょうね!
昨日は、そんな会員の方からコメントを頂きました。
・コメントへのリンクはこちら
コメントの内容を一番よく表している一文は
「上手く式変形すれば、楽に計算できるものなのか?」
と言ったところでしょう。
数検の準1級の問題となると、たとえ1次であっても、ただ計算をすれば良い、と言うものでは無くなってくるようですね。
なにも考えずにまともに計算を始めると、時間が掛かってしまう場合もある - この点がちょっと怖いです。
会員の方から教えて頂いた問題は、次の通りです。(これは実際に過去に出題された過去問です)
皆さんでしたら、この問題をどう攻略しますか? …ではさっそく問題に取り掛かりましょう!i を虚数単位とします。 x=1+√7i2 のとき、x3+2x2+7 の値を求めなさい。
…と その前に…
ちょっと待って下さいね!

この問題を解く前に次の問題を考えてみてください。front-Q とでもしておきましょう。
front-Q
i を虚数単位とします。 3次方程式 x3+2x2+9=0 の解の一つは x=1+√11i2 であるか否か。
解の一つである場合は ○。そうでない場合は × で答えなさい。
解の一つである場合は ○。そうでない場合は × で答えなさい。
この front-Q の解法はピンくるでしょうか?
高校数学のIIで学習する「高次方程式」の問題ですよね。
答えは ○ です。
求め方は簡単で、実際に x を与式に代入して、その値が 0 になるか否かを確認すれば良いです。
でも、これだと虚数単位を含む分数計算を行うことになります。もうちょっと上手い方法はないかなぁ…と、皆さんも感じられると思います。
他に考えられる方法としては、実数解がどんな値か当たりを付ける、というものがあるでしょう。
実は、この x3+2x2+9 は (x+3)(x2−x+3) と因数分解できます。
x3+2x2+9=0 となる x の実数値は?
この問いについても、x に実数を代入して、式の値が 0 になるのかを確認する必要があります。
でも、計算は簡単で、しかも3つ程度で済みます。
まず x に代入するのは整数として、負の数が妥当だということは分かりますよね?
それが分かったのなら、後は下記の計算をするだけです。
x=−1 の時は x3+2x2+9=10
x=−2 の時は x3+2x2+9=9
x=−3 の時は x3+2x2+9=0
x=−2 の時は x3+2x2+9=9
x=−3 の時は x3+2x2+9=0
つまり、
x=−3
が
x3+2x2+9=0
の一つの実数解だと分かります。が
x3+2x2+9=0
次に (x+3) で (x3+2x2+9) を割ります。
割り算の結果は
x2−x+3
です。これを2次方程式の解公式で解くと
x=1±√11i2
となり、 front-Q の答えは ○ だと分かります。
ここまでで、問題を考える時に試行錯誤する必要がある内容は
・直接 x3+2x2+9 に x=1+√11i2 を代入して計算する方法
・高次方程式のテクニックを使って確認する方法
・高次方程式のテクニックを使って確認する方法
上記2つだと、当たりが付くのではないでしょうか。
ではこの2つを踏まえて、もと問題に戻りましょう。
i を虚数単位とします。 x=1+√7i2 のとき、x3+2x2+7 の値を求めなさい。
まず初めに、与えられた x を式に代入したら 0 になるか否かの当たりをつけたいですよね。
ですので、下記を実施します。
x=−1 の時は x3+2x2+7=8
x=−2 の時は x3+2x2+7=7
x=−3 の時は x3+2x2+7=−2
x=−2 の時は x3+2x2+7=7
x=−3 の時は x3+2x2+7=−2
この結果を見て、実数解は整数でないことがわかりますよね。2<x<3 です。
この時点で x3+2x2+7 の因数分解はキレイな形ではできないことが想像できます。
だとすると、この問題は
x=1+√7i2
を代入して計算しても、0 ではない値が出てくる可能性が高いだろうなぁ…と思えませんか?
まぁこの判断はちょっと強引かも知れませんけどね。
ともかくこの時点で、私なら 0 にはならないな、と判断して直接式に x を代入、計算をはじめます。
まずは x2 を求めましょう。
(1+√7i2)2=−3+√7i2
次に x2⋅x を行います。
(−3+√7i2)⋅1+√7i2=−5−√7i2
最後に上の2つ結果を持って x3+2x2+7 を計算します。
皆さんならどう致しますか?
もっとよい思考錯誤・手順があるようでしたら、コメントを頂けるとありがたいです。
では今日も休日を始めています。休日の充実こそ、人生の充実です。
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