皆さんこんにちは、時空 解です。

さて、数日のあいだ青チャート式数学Ａの「基本例題１２９」にハマっていました。
問題は下記のとおり。

基本例題 １２９
$ 3 $ で割ると $ 2 $ 余り、$ 5 $ で割ると $ 3 $ 余り、$ 7 $ で割ると $ 4 $ 余るような自然数 $ n $ で最小のものを求めよ。
 

この問題の解答・解説は本書 (右画像) を確認して頂けるとありがたいです。
今日のブログに書きたいのは、この問題で解答・解説を読んでも理解に苦しんだ点を書いてみたいと思います。

苦しんだ大きな点は、下記の点ですね。
1, 自然数 $ n $ を数式にする
2, 不定方程式 $ 3x - 5y = 1 $ から $ 3(x -2) - 5(y -1) = 0 $ と言う式変形の考え方、意味
3, 不定方程式 $ 7z - 15k = 4 $ の整数解の一つを $ z = -8,~k = -4 $ ではなくて  $ z = 7,~k = 3 $ を使うと、$ l = 1 $ としても $ n $ が最小値にならない

この疑問点のうち、初めの「$ n $ を数式にできない」のは恥ずかしい限りでした。
でも変数が３つになるので、直観的に躊躇してまう自分がいます。( ^^;

まぁそれはともかく…

次の "2" が、この問題の本質でしょう。
$ 3x - 5y = 1 $ から一組の整数解を見出して、「互いに素」と言う考えを利用するという発想。
この発想が理解できないと、この問題は永遠に頭の中でもやもやとしたものになるでしょう。

初めてこの問題の解答を観た時には $ 3(x -2) - 5(y -1) = 0 $ の数式の $ 0 $ に「？」が浮かびました。
どうして $ 3(x -2) - 5(y -1) = 1 $ じゃないの？

でもこんな疑問を感じるのは、ただ単に数式の「字ずら」からくる連想ですよね。＿|￣|○　グラフの平行移動とごっちゃになってました…

ここの部分は数直線を書いてみるとスッキリすると思います。
「互いに素」を利用して最小公倍数を $ k $ (１つの変数) を使って表現するのが目的ですが…

ここで、そもそもの問題文から「余り」を排除するとどうなるかを考えてみましょう。
中学生レベルの問題になりますよね。

「$ 3 $ でも $ 5 $ でも $ 7 $ でも割り切れる自然数 $ n $ で最小のものを求めよ。」

問題が上記のようなものであれば、まぁ $ n $ は $ 3,~5,~7 $ の最小公倍数だということは直ぐに分かるでしょう。
もともとの問題は、これに「余り」が入っています。

それをどう処理するかですよね。

おっと！　

すみません、もうこんな時間になってしまいました。今日で完結させられれば良かったのですが、そうすると会社に遅刻してしまいます。
一番言いたいのは 3 の疑問点なんですけどね…続きはまた明日にでも…。

申し訳ありませんが覗きに来てくださいね。m( _ _;)m

今日はここまでと言うことで、ご了承くださいませませ

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。

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