「類似問題：L.C.M. 問題」
$3$ でも $5$ でも $7$ でも割り切れる自然数 $n$ で最小のものを求めよ。

まずは求める最小の自然数 $n$ について３つの方程式を立てます。

$n = 3x$　　…(1)
$n = 5y$　　…(2)
$n = 7z$　　…(3)

(1) と (2) より、不定方程式を作ります。
$3x = 5y$　…(a)

上式 (a) が成り立つ整数解の組を考えてみましょう。

$(x,~y) = (5,~3)、(10,~6)、(15,~9)、(20,~12)、(25,~15)、(30,~18)$ …

整数解の組は複数あることがわかります。(下図 数直線の黒楕円で囲ったところ)


(1) の数式に対応する数直線は３本中の一番下。オレンジ色の点が３の倍数のを示す。
(2) の数式は真ん中の線で、ブルー色の点が５の倍数を示す。
(3) の数式は一番上の線で、グリーン色の点が７の倍数を示す。

整数解の組は、言うまでもなく「オレンジ色の点」と「ブルー色の点」が縦に並ぶところです。
これは $3$ と $5$ が互いに素であるからに他なりません。

$k$ を持ち出して整理すると、
(a) $3x = 5y$ は、$3$ と $5$ が互いに素なので、
$x = 5k$　　($k$ は整数)
と表すことができる。

また、数式 (1) と (3) より
$3x = 7z$ であるから
$3 \cdot 5k = 7z$
$15k = 7z$　　　　　…この式の意味が大切です。
　　　　　　　　　　　$0$ から $105$ の間に "楕円" で区切られている区間の数が７つ。
　　　　　　　　　　　７倍を示す "グリーグリーン色の点" で区切られている区間の数は１５なんです。(2021-11-26 修正)

次に、上式に対して $l$ を持ち出して整理すると、
$15$ と $7$ が互いに素なので、
$z = 15l$　　($l$ は整数)
と表すことができる。

こんどは 数式 (3) $n = 7z$ に $z = 15l$ を代入して
$n = 7 \cdot 15l$
$\therefore n = 105l$
問題は $n$ が自然数で最小のものを求めているので $l = 1$ が妥当である。

答：$n = 105$

まずは求める最小の自然数 $n$ について３つの方程式を立てます。

$n = 3x + 2$　　…(1)'
$n = 5y + 3$　　…(2)'
$n = 7z + 4$　　…(3)'

(1)' と (2)' より不定方程式を作ります。
$3x + 2 = 5y + 3$　　これを整理して
$3x - 5y = 1$　　…(a)'

ここで得られる数式 (a)' が不定方程式なのですが、下図を参照してみてください。


(a)' の右辺 " $1$ " は、どうやら上図の "赤楕円" の部分を表していると解釈できます。
「類似問題：LCM 問題」の数直線と見比べてみると、本題の「基本例題１２９」の数直線は、"余り" の数だけ右 (+方向) にずらしたものとして描けますよね。

(1)' の数式に対応する数直線は３本中の一番下。数直線の始まりが $2$ 。オレンジ色の点が $3x + 2$ を示す。
(2)' の数式は真ん中の線で、数直線の始まりが $3$ 。ブルー色の点が $5y + 3$ を示す。
(3)' の数式は一番上の線で、数直線の始まりが $4$ 。グリーン色の点が $7x + 4$ を示す。

こうして描くと、(a)' の不定方程式の整数解が、数直線上でどこなのかイメージできると思います。「類似問題：LCM 問題」のときと同じく、「オレンジ色の点」と「ブルー色の点」が縦にそろうところです。

黒楕円で示したところですよね。

数直線の始まりから黒楕円のところまで、それぞれの点で区切られた区間はいくつあるでしょうか？
オレンジの点で区切られた区間の数は $2$ から最初の黒楕円のところまでなら２つ。次の黒楕円までなら７つ。その次までなら１２…
ブルーの点で区切られた区間の数は $3$ から最初の黒楕円のところまでなら１つ。次の黒楕円までなら４つ。その次なら７…

これより (a)' の不定方程式の整数解は

$(x,~y) = (2,~1)、(7,~4)、(12,~7)$ …

と予想が付くでしょう。そしてこれは正しい整数解の組です。

(a)' に小さい整数解の組 $(x,~y) = (2,~1)$ を適用して、
$3(x-2) -5(y-1) = 0$　つまり
$3(x-2) = 5(y-1)$
を得ます。

ここで $k$ を持ち出して整理すると…
$3(x-2) = 5(y-1)$ は、$3$ と $5$ が互いに素なので、
$(x-2) = 5k$
$x = 5k + 2$　　($k$ は整数)
と表すことができる。

また、数式 (1)' と (3)' より
$3x + 2 = 7z + 4$ であるから
$3 \cdot (5k + 2) + 2 = 7z + 4$
整理すると
$15k -7z = -4$　　…(b)' 


この (b)' が２つ目の不定方程式となります。
$-4$ の意味は、先ほどの (a)' の不定方程式のときと同様、上図の "手書きの赤楕円部分" と解釈できます。黒楕円と $7z + 4$ の数直線の先頭との差、ですよね。

(b)' も (a)' と同様のやり方で整数解の一つを求めることができます。
(b)' の整数解の一つ一つは、グリーンの点と黒楕円が縦にならぶところです。"緑楕円" で示しておきました。ここが (b)' の整数解の一つです。

数直線の先頭の "手書きの赤楕円部分" から "緑楕円" のあいだにある、黒楕円で区切られた区間の数は $3$。
数直線の先頭の "手書きの赤楕円部分" から "緑楕円" のあいだにある、グリーンの点で区切られた区間の数は $7$。

このことより
$(k,~z) = (3,~7)$ を得ます。(b)' にこれを適用して、
$15(k-3) - 7(z-7) = 0$
$15(k-3) = 7(z-7)$

ここで $l$ を持ち出して整理すると…
$15$ と $7$ は互いに素なので
$z-7 = 15l$
$z = 15l + 7$　　($l$ は整数)
と表すことができる。

数式 (3)' $n = 7z + 4$ に $z$ を代入して
$n = 7 \cdot (15l + 7) + 4$
$\therefore n = 105l + 53$
問題は $n$ が自然数で最小のものを求めているので $l = 0$ が妥当である。

答：$n = 53$