皆さんこんにちは、時空 解です。

やっと青チャート式数学Ａの基本例題１２９の整理が付いたので、今日からまたファインマン物理学の整理に入れます。

ではさっそく…
 

第５章　時間と距離 5-4 長い時間
・長い時間を測るのはわけない。日数をかぞえるだけでよい - それをかぞえてくれる人がいる限りわけないことである
・他にも、たとえば、気の年輪だとか、河底の堆積物など、自然時計が役に立つ場合がある

・長い時間を測る時に、年数を数えることができないという場合には、他の測定法をみつけなければならない

もっとも成功した方法の一つは、放射性物質を "時計" として使うということである。日とか振子とかいう周期的現象はないけれども、また別の種類の "規則性" がある。

・ある種の物質のサンプルを一つとつてその放射能を測ると、その年代が一定の長さだけ古くなると、一定の割合で強さが減少することがわかっている
・放射能が $ T $ 日で半分になったとすると (これを半減期という) 、更に $ T $ 日たてば $ \displaystyle \frac{ 1 }{ 4 } $ になる。以下同様である。任意の時間間隔 $ t $ を考えると、その中には半減期が $ \displaystyle \frac{ t }{ T } $ 個あるわけだから、$ t $ だけ時間がたった後に残っているものの割合は $ \left( \displaystyle \frac{ 1 }{ 2 } \right)^{\frac{ t }{ T }} $ である

ある $ 1 $ 片の物質、例えば $ 1 $ 片の木、があって、それができたときには $ A $ という量の放射性物質が含まれていたということがわかっているとする。そして、直接の測定によって、いまは $ B $ という量の放射性物質が含まれているということがわかったとすれば、次の方程式をとくことによって、このものの年齢 $ t $ を計算することができる。
 $ \displaystyle { \left( \frac{ 1 }{ 2 } \right)^{\frac{ t }{ T }} = \frac{ B }{ A } } $

・空気中の二酸化炭素は、放射性アイソトープ $ C^{14} $ (宇宙線の作用でたえず補充されている) を少量含んでいることがわかっている
・あるものの中の炭素の全量を測れば、それのある一部分は、もとは放射性 $ C^{14} $ であったわけである。だから上の式の最初の値 $ A $ がわかる
(Wikipedia：天然同位体 参照)

・ウランには半減期が $ 10^9 $ 年のアイソトープがある。ウランは崩壊すると、鉛に変わる
・鉛とウランとは化学的性質がちがうので、化学的に形成された岩石 (溶岩の中で出来るなど) は始め、鉛とウランとは別々になる

ウランだけあったはずの場所が、一部分ウランで一部分鉛になっていく。それらの割合をくらべれば、ウランの何パーセントがなくなって、それが鉛に変わったのかということがわかる。

・このウラン法を拡張して、特定の岩石を使う代りに、海水の中のウランと鉛に着目して地球全体の平均をとると、地球自身の年齢はおよそ $ 55 $ 年であることがわかってきた
・地球にふってくる隕石の年齢もウラン法できめられるが、地球の年齢がそれと同じであることがわかったのは、面白いことである
・地球は、宇宙にただよっている岩片から形成されたものであり、また隕石はおそらく岩片の残りであると思われる
・宇宙に人間というものが生まれたのは、$ 1 $ ～ $ 1.2 $ 千万年の前のことだと、今では信ぜられている
・それ以前にどんなことが起こったか、我々は知らない。そこで、次のような疑問が当然おこってくる：この問題は意味をなすか？それより以前ということには意味があるのか？
 

さて、この節では時間の哲学的な意味から少し離れている感がありますのでちょっと残念なんですが、それを超える興味もまたありますね。
物事の決定に、数学がどのように応用されるのかを、まずは垣間見ることができました。それが放射性アイソトープを利用した年代測定ですね。

・放射能が $ T $ 日で半分になったとすると (これを半減期という) 、更に $ T $ 日たてば $ \displaystyle \frac{ 1 }{ 4 } $ になる。以下同様である。任意の時間間隔 $ t $ を考えると、その中には半減期が $ \displaystyle \frac{ t }{ T } $ 個あるわけだから、$ t $ だけ時間がたった後に残っているものの割合は $ \left( \displaystyle \frac{ 1 }{ 2 } \right)^{\frac{ t }{ T }} $ である
 

自分はこんなふうに数式に表せるか、ちょっと自信がありませんでした。もっと数学の実力を養わないとね。( ^^;

それと、ウラン法によって地球の年齢が導かれるところですが、ちょっと Wikipedia で調べてみると…
・地球の年齢

げげげっ！　なんだこの方程式は？　
 $ N=N_{0}e^{{-\lambda t}} $ 
ここでは放射性アイソトープの半減期が「崩壊定数 $ \lambda $」として使われていますね。

さらに「崩壊定数 $ \lambda $」を見ると

崩壊定数は崩壊する確率を表しており、崩壊定数が大きいほど短時間で数が減少すると理解できる。

げげげのげ！　確率が入ってくるんかい… ＿|￣|○

現在では半減期が $ \displaystyle \frac{ 1 }{ 2 } $ とか、そんな単純な形ではなくて量子力学のせいで (おかげで) より厳密な数式に代わっているんですね。
今の自分では理解する気にも成れない。

数学検定の１級に合格できればなぁ…
「俺は１級を持っているんだ、こんな数式、なんのその」
と言う意気込みが、心に生まれてくれる期待をする次第です。

では今日も休日を始めています。休日の充実こそ、人生の充実です。

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