皆さんこんにちは、時空 解です。

今日も数学検定の「実用数学技能検定要点整理 ２級」の復習をしていたのですが、高次方程式の練習問題のところで驚いていました。

驚いていたと言うのも変ですが…。

高次方程式の練習問題は全部で５つあるんですが、そのうちの４つに "赤印" が付いています。復習が必要な問題だと言う印です。
(自分で付けたんですけどね… ( ^^; )

でもこの４つの問題、繰り返し解いた記憶がありません。
…と言うか、繰り返し解いていないと言う記憶がハッキリあります…＿|￣|○

数検の受検日直前につけた "赤印" なんですよね。
ですから数検を受検し終えたところで、手付かずになっていたんです。

この練習問題の中には、数検で出題されたパターンの問題も載っていますね。
それが表題にも書きました下記の問題です。
 

高次方程式の練習問題４
$ 1 $ の $ 3 $乗根のうち虚数の１つを $ \omega $ とするとき、$ 1 - \omega - \omega^2 - \omega^3 - $ ・・・ $ - \omega^9 $ の値を求めなさい。
 

この手の問題が数検でも出題された時、トンと解りませんでした。…でもその日は、家に帰ってきてからはのんびりとテレビを観てしまったのでしょう、復習をしていません。

"赤印" を付けた時にも、きっと答えをみて
「おお、鮮やかな解法だ！」
と感心をしただけで終わっていたのでしょう。だから自分の物になっていないのです…。

今日は今一度、解きなおしました。

$ \omega $ は $ 1 $ の $ 3 $乗根なのだから
$ \omega^3 = 1 $　　　…(1)
$ \omega^3 -1 = 0 $

ここで３次の展開の公式より
$ (\omega -1)(\omega^2 + \omega +1) = 0 $

$ \omega $ は虚数なので、$ \omega - 1 \neq 0 $ より
$ (\omega^2 + \omega +1) = 0 $
が成立する。

つまり
$ 1 + \omega + \omega^2 = 0 $　…(2)

与式を変形して、(1), (2) を利用すると
与式
$ =2 - 1 - \omega - \omega^2 - \omega^3 - $ ・・・ $ - \omega^9 $ 
$ =2 -(1+ \omega + \omega^2) -(1+ \omega + \omega^2) \cdot  \omega^3 -(1+ \omega + \omega^2) \cdot  \omega^6 - \omega^9 $
$ =2 -0 -0 \cdot 1 -0 \cdot 1^2 -1^3 $
$ =1 $
となる。

答：$ 1 $

うーむ、(2) を導き出すところが Pointですが、与式の先頭の項 $ 1 $ を $ 2-1 $ と変形するところもまた上手いところですよね。

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。

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