皆さんこんにちは、時空 解です。

昨日、「青チャート式数学II」の基本例題５について書きました。一見、難しそうに感じる証明問題ですが、答えを観ると、その簡単な解法に驚きます。
特に設問 (2) に関しては衝撃を受けるほどの解法ですよね。( ^^;

気が付かないと、どう証明したらいいのやら てんで分りません。強いて言えば設問 (2)-ウ に、ちょっと捻りが入っている程度ですよね。

さて、この基本例題５なんですが、もう一つブログ記事にしなんてはならない点があります。

それは解答の一番下に載っている【参考】の一文の意味についてです。
 

「青チャート式数学II」基本例題５の設問 (1) を受けての【参考】
$ p $ を素数とするとき、(1) から　　　$ k {}_p \mathrm{ C }_k = p {}_{p-1} \mathrm{ C }_{k-1} $ ( $ p \geqq 2~;~k = 1,~2,~ …,~ p - 1 $ )
　この式は $ {}_p \mathrm{ C }_k $ が必ず $ p $ で割り切れることを示している。

この【参考】の意味、皆さんは直ぐに納得できましたかね？

私はしばらく　　？　でした。

でもこれは、例えば下記のような等式が想い浮かべられれば分かってきます。

$ 7x = 3y $　　　( $ x,~y $ は自然数 )

上記の等式が成立するためには、$ x $ は３の倍数でなくてはなりません。３で割り切れる自然数と言うことですよね。
これは $ 7 $ と $ 3 $ が互いに素だからでした。

これを踏まえて【参考】に目を通すと…

$ k {}_p \mathrm{ C }_k = p {}_{p-1} \mathrm{ C }_{k-1} $ ( $ p \geqq 2~;~k = 1,~2,~ …,~ p - 1 $ )

上式の $ p $ と $ k $ の関係が互いに素のようなものだと分かると思います。
でも、私はなかなかわかりませんでしたけどね。

お恥ずかしい。( ^^;

組み合わせなんですから $ p $ と $ k $ の関係はまず $ p \geqq k $ と言う前提条件があります。

おまけに
( $ p \geqq 2~;~k = 1,~2,~ …,~ p - 1 $ )
なのですからから

$ k $ の最大値は $ p -1 $ なのだから $ p \gt k $

ですから $ k $ は $ p $ では割れません。
したがって $ k {}_p \mathrm{ C }_k = p {}_{p-1} \mathrm{ C }_{k-1} $ が成立するならば

・ $ {}_p \mathrm{ C }_k $ が必ず $ p $ で割り切れることを示している

と言うことになります。
$ k $ は素数とは決まっていませんので $ p $ と $ k $ は互いに素ではありませんが、 $ k $ は $ p $ で割れないことは明確ですからね。

昨晩、布団の中で考えていて、やっと納得したしだいです。

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。

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