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時空 解 さんの日記

 
2021
12月 28
(火)
09:23
「青チャート式数学II」基本例題5の設問 (1) にある 【参考】の意味
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。

昨日、「青チャート式数学II」の基本例題5について書きました。一見、難しそうに感じる証明問題ですが、答えを観ると、その簡単な解法に驚きます。
特に設問 (2) に関しては衝撃を受けるほどの解法ですよね。( ^^;

気が付かないと、どう証明したらいいのやら てんで分りません。強いて言えば設問 (2)-ウ に、ちょっと捻りが入っている程度ですよね。

さて、この基本例題5なんですが、もう一つブログ記事にしなんてはならない点があります。うーむ

それは解答の一番下に載っている【参考】の一文の意味についてです。
 
「青チャート式数学II」基本例題5の設問 (1) を受けての【参考】
p を素数とするとき、(1) から   kpCk=pp1Ck1 ( p )
 この式は {}_p \mathrm{ C }_k が必ず p で割り切れることを示している。

この【参考】の意味、皆さんは直ぐに納得できましたかね?

私はしばらく  汗? でした。

でもこれは、例えば下記のような等式が想い浮かべられれば分かってきます。

7x = 3y    ( x,~y は自然数 )

上記の等式が成立するためには、 x は3の倍数でなくてはなりません。3で割り切れる自然数と言うことですよね。
これは 7 3 が互いに素だからでした。

これを踏まえて【参考】に目を通すと…

k {}_p \mathrm{ C }_k = p {}_{p-1} \mathrm{ C }_{k-1} ( p \geqq 2~;~k = 1,~2,~ …,~ p - 1 )

上式の p k の関係が互いに素のようなものだと分かると思います。
でも、私はなかなかわかりませんでしたけどね。

お恥ずかしい。( ^^;

組み合わせなんですから p k の関係はまず p \geqq k と言う前提条件があります。

おまけに
( p \geqq 2~;~k = 1,~2,~ …,~ p - 1 )
なのですからから

k の最大値は p -1 なのだから p \gt k

ですから k p では割れません。
したがって k {}_p \mathrm{ C }_k = p {}_{p-1} \mathrm{ C }_{k-1} が成立するならば

{}_p \mathrm{ C }_k が必ず p で割り切れることを示している

と言うことになります。
k は素数とは決まっていませんので p k は互いに素ではありませんが、 k p で割れないことは明確ですからね。

昨晩、布団の中で考えていて、やっと納得したしだいです。

では今日も1日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。

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