皆さんこんにちは、時空 解です。

今日は「数値代入法」で解くのが良いであろう問題を扱ってみます。数検で出題された問題を、昨日のコメント欄に書き込んで頂けました。ここのブログの会員さんからです。
会員さまへ。問題を教えて頂きありがとうございます。いつも感謝しています。m( _ _ )m

さて、問題は数学検定の準１級１次に出題された問題だそうです。下記にそれを示します。
 

問題
次の等式が $x$ について恒等式となるように、定数 $a,~b,~c,~d$ の値を定めなさい。
　　　$\displaystyle \frac{ 9 }{ (x-1)^2 \cdot (x+2)^2 } = \frac{ a }{ (x-1) } + \frac{ b }{ (x-1)^2 } + \frac{ c }{ (x+2) } + \frac{ d }{ (x+2)^2 }$

解答：$a = \displaystyle - \frac{ 2 }{ 3 },~~b = 1,~~c = \frac{ 2 }{ 3 },~~d=1$

この問題を「数値代入法」で解こうとした場合、まずは $x$ にどんな値を代入して $a,~b,~c,~d$ を求めて行くかが問題になります。
値を選ぶ時に基準になるのは

「計算がシンプルになるように選ぶ」
ですよね。

ではまず、与式を見通しの良い数式に変形しましょう。
　　　$\displaystyle \frac{ 9 }{ (x-1)^2 \cdot (x+2)^2 } = \frac{ a }{ (x-1) } + \frac{ b }{ (x-1)^2 } + \frac{ c }{ (x+2) } + \frac{ d }{ (x+2)^2 }$

右辺の４つの項を左辺と共通の分母 $(x-1)^2 \cdot (x+2)^2$ にすると
　　　$\displaystyle \frac{ 9 }{ (x-1)^2 \cdot (x+2)^2 } = \frac{ a(x-1)(x+2)^2 + b(x+2)^2 + c(x-1)^2(x+2) + d(x-1)^2 }{ (x-1)^2 \cdot (x+2)^2 }$　　　…(q)

両辺に $(x-1)^2 \cdot (x+2)^2$ を掛けて
　　　$9 = a(x-1)(x+2)^2 + b(x+2)^2 + c(x-1)^2(x+2) + d(x-1)^2$　　　…(1)


これで「数値代入法」を利用できそうな数式に変形できました。ここまでて (q) の数式をみると $x$ に $1$ とか $-2$ を入れると $0$ になるので、$x$ の値にこれらを代入しても良いのかは気に成るところです。
ですが青チャート式数学IIの「基本例題１７ 分数式の恒等式」に載っている【検討】より、大丈夫なのだそうです。(1) の数式に付いて $x = 1,~-2$ ともに成立することがその理由とのことです。

さて、では $x$ に代入する値ですが、とりあえず (1) の数式から $x = -2,~1,~0$ の３つ値は候補としてあがりますよね。でも求めたい定数は４つあります。$x$ に代入する値も４つ必要なので、後１つを何にするかですが…。$x = -1$ くらいを代入してやればひとまず計算はラクそうですよね。

と言うことで $x$ に代入する値は $x = -2,~-1,~0,~1$ としましょう。

数式 (1) にそれぞれ $x = -2,~-1,~0,~1$ を代入すると

　　　$x = -2$ の場合
　　　$9 = a(-2-1)(-2+2)^2 + b(-2+2)^2 + c(-2-1)^2(-2+2) + d(-2-1)^2$
　　　$9 = d \cdot 9$…(2)

　　　$x = -1$ の場合
　　　$9 = a(-1-1)(-1+2)^2 + b(-1+2)^2 + c(-1-1)^2(-1+2) + d(-1-1)^2$
　　　$9 = a \cdot (-2) + b \cdot 1 + c \cdot 4 + d \cdot 4$…(3)

　　　$x = 0$ の場合
　　　$9 = a(0-1)(0+2)^2 + b(0+2)^2 + c(0-1)^2(0+2) + d(0-1)^2$
　　　$9 = a \cdot (-4) + b \cdot 4 + c \cdot 2 + d \cdot 1$…(4)

　　　$x = 1$ の場合
　　　$9 = a(1-1)(1+2)^2 + b(1+2)^2 + c(1-1)^2(1+2) + d(1-1)^2$
　　　$9 = b \cdot 9$…(5)

を得る。

(2) ～ (5) を連立方程式として解くと、定数 $a,~b,~c,~d$ が求められます。まぁ直ぐに $d$ と $b$ は出て来ますので、(3) と (4) から残りの $a,~c$ を求めるだけですけどね。

答：$a = \displaystyle - \frac{ 2 }{ 3 },~~b = 1,~~c = \frac{ 2 }{ 3 },~~d=1$

この問題は数学検定の準１級１次の問題ですから、答のみの解答で良いのですが、これが記述式の問題だったとしたら、次に続く確認の計算も必要となります。

・与式の右辺に $a = \displaystyle - \frac{ 2 }{ 3 },~~b = 1,~~c = \frac{ 2 }{ 3 },~~d=1$ を代入して、左辺と等しくなることを確認する。
　　　$\displaystyle \frac{ 9 }{ (x-1)^2 \cdot (x+2)^2 } = \frac{ - \frac{ 2 }{ 3 } }{ (x-1) } + \frac{ 1 }{ (x-1)^2 } + \frac{ \frac{ 2 }{ 3 } }{ (x+2) } + \frac{ 1 }{ (x+2)^2 }$

　　　　　　　　　　　　　$= \displaystyle \frac{ - \frac{ 2 }{ 3 }(x-1)(x+2)^2 + (x+2)^2 + \frac{ 2 }{ 3 }(x-1)^2(x+2) + (x-1)^2 }{ (x-1)^2 \cdot (x+2)^2 }$

両辺に３を掛けて

　　　$\displaystyle \frac{ 27 }{ (x-1)^2 \cdot (x+2)^2 } = \frac{ -2(x-1)(x+2)^2 + 3(x+2)^2 + 2(x-1)^2(x+2) + 3(x-1)^2 }{ (x-1)^2 \cdot (x+2)^2 }$

分母を払って

　　　　　　　　　　　$\displaystyle 27 = -2(x-1)(x+2)^2 + 3(x+2)^2 + 2(x-1)^2(x+2) + 3(x-1)^2$
　　　　　　　　　　　　　$= (x+2)^2 \{-2(x-1) + 3 \} + (x-1)^2 \{ 2(x+2) + 3 \}$
　　　　　　　　　　　　　$= (x+2)^2(-2x + 5) + (x-1)^2(2x+7)$
　　　　　　　　　　　　　(以下省略)

１次検定の問題だとしても、検算の必要はありますからね。最後に $a = \displaystyle - \frac{ 2 }{ 3 },~~b = 1,~~c = \frac{ 2 }{ 3 },~~d=1$ を代入して両辺が等しくなる確認はした方がいいですね。

それにしても、計算するだけでも大変な問題です。やっぱり準１級１次 (計算技能) の問題ですね。

では今日も前向きに日々を過ごしています。