皆さんこんにちは、時空 解です。

ここ数日、青チャート式数学IIに取り組んでいるのですが、その中でも是非、皆さんにお伝えしたい問題がありますので、今日はそれに付いて書いてみます。

お伝えしたい問題と言うのは、下記です。
 

青チャート式数学II、基本例題２４　(教科書の節末、章末問題レベル)
(1) …省略
(2) $\displaystyle \frac{ b+c }{ a } = \frac{ c+a }{ b } = \frac{ a+b }{ c }$ のとき、この式の値を求めよ。

(答が右画像参照)
 

この設問 (2) なんですが、まずは
与式 $= k$

と置いて問題を解いて行きます。つまり
 $\displaystyle \frac{ b+c }{ a } = \frac{ c+a }{ b } = \frac{ a+b }{ c } = k$

ですよね。上式より
$\displaystyle \frac{ b+c }{ a } = k$　　　→ $b + c = ak$　　…(a)
$\displaystyle \frac{ c+a }{ b } = k$　　　→ $c + a = bk$　　…(b)
$\displaystyle \frac{ a+b }{ c } = k$　　　→ $a + b = ck$　　…(c)

の３つの式が出て来ます。

(a) + (b) + (c) から
$2(a+b+c) = (a+b+c)k$　　　→ $(a+b+c)(k - 2) = 0$　　…(D)

(D) より
$a+b+c = 0$ または $k = 2$ が言える。


さて、この (D) の式から $a+b+c = 0$ または $k = 2$ が出てくるのは分かりますが、その後に続く記述に疑問を抱きました。
「こんな記述、必要かなぁ…？」
とね。

まぁ $a+b+c = 0$ の方に関しては、この結果から $k = -1$ と計算で求めていますので納得は行くのですが…
$k = 2$ の場合に付いての記述は、どうして必要なのかが３日間ほど分からなかったのです…。

・与式 $= -1$ または $2$

とすぐに結論できると想うのですが、何故そうしないのでしょう？

わざわざ
(a) - (b)、
(b) - (c)、
(c) - (a)
なんて計算を行って、$a = b = c$ を求めてから
$abc \neq 0$ を満たす全ての実数 $a,~b,~c$ について成立する。
だから $k = 2$ だ！　と言わんばかりに想えます。

うーむ…　分からない。

昨日、一昨日とこの疑問に悩まさせていたものですから、今日の朝、この疑問をブログ記事にしようと書き始めたんです。
そうしたら…記事を書いていてやっと疑問が解消できました。

なんだ、そういうことなんですね。

$k = 2$ になるのは $abc \neq 0$ かつ $a = b = c$ が成り立つときに限ります！
　…と言うこと、ですよね。

だとしたら、与式は $a,~b,~c$ が $a=b=c$ で $abc \neq 0$ の時には $2$ になって、それ以外 ( $a+b+c = 0$ ) の時には $-1$ になる、と言うことなんだよね。

試しに
$a=-2$
$b=-3$
$c=5$
を与式に代入すると、確かに $-1$。

こんな簡単な確認作業に辿り着くのに３日間…＿|￣|○

与式が $-1$ になったり $2$ に成ったりするんだから、どちらになる時に $a,~b,~c$ はどんな値なのか！
そこまで求めないといけないと言うことなんでしょう。

みなさんは、チャート式数学の答えの記述、理解できたでしょうか？　私は３日かかってしまいました。

今日の記事は参考になりましたかね…それとも
「こんなことに疑問を持っちゃうの？」
と言った感じですかね。( ^^;

とにかく、今日も前向きに日々を過ごしています。