皆さんこんにちは、時空 解です。

ここ数日、青チャート式数学IIに取り組んでいるのですが、その中でも是非、皆さんにお伝えしたい問題がありますので、今日はそれに付いて書いてみます。

お伝えしたい問題と言うのは、下記です。
 

青チャート式数学II、基本例題２４　(教科書の節末、章末問題レベル)
(1) …省略
(2) $ \displaystyle \frac{ b+c }{ a } = \frac{ c+a }{ b } = \frac{ a+b }{ c } $ のとき、この式の値を求めよ。

(答が右画像参照)
 

この設問 (2) なんですが、まずは
与式 $ = k $

と置いて問題を解いて行きます。つまり
 $ \displaystyle \frac{ b+c }{ a } = \frac{ c+a }{ b } = \frac{ a+b }{ c } = k $

ですよね。上式より
$ \displaystyle \frac{ b+c }{ a } = k $　　　→ $ b + c = ak $　　…(a)
$ \displaystyle \frac{ c+a }{ b } = k $　　　→ $ c + a = bk $　　…(b)
$ \displaystyle \frac{ a+b }{ c } = k $　　　→ $ a + b = ck $　　…(c)

の３つの式が出て来ます。

(a) + (b) + (c) から
$ 2(a+b+c) = (a+b+c)k $　　　→ $ (a+b+c)(k - 2) = 0 $　　…(D)

(D) より
$ a+b+c = 0 $ または $ k = 2 $ が言える。


さて、この (D) の式から $ a+b+c = 0 $ または $ k = 2 $ が出てくるのは分かりますが、その後に続く記述に疑問を抱きました。
「こんな記述、必要かなぁ…？」
とね。

まぁ $ a+b+c = 0 $ の方に関しては、この結果から $ k = -1 $ と計算で求めていますので納得は行くのですが…
$ k = 2 $ の場合に付いての記述は、どうして必要なのかが３日間ほど分からなかったのです…。

・与式 $ = -1 $ または $2 $

とすぐに結論できると想うのですが、何故そうしないのでしょう？

わざわざ
(a) - (b)、
(b) - (c)、
(c) - (a)
なんて計算を行って、$ a = b = c $ を求めてから
$ abc \neq 0 $ を満たす全ての実数 $ a,~b,~c $ について成立する。
だから $ k = 2 $ だ！　と言わんばかりに想えます。

うーむ…　分からない。

昨日、一昨日とこの疑問に悩まさせていたものですから、今日の朝、この疑問をブログ記事にしようと書き始めたんです。
そうしたら…記事を書いていてやっと疑問が解消できました。

なんだ、そういうことなんですね。

$ k = 2 $ になるのは $ abc \neq 0 $ かつ $ a = b = c $ が成り立つときに限ります！
　…と言うこと、ですよね。

だとしたら、与式は $ a,~b,~c $ が $ a=b=c $ で $ abc \neq 0 $ の時には $ 2 $ になって、それ以外 ( $ a+b+c = 0 $ ) の時には $ -1 $ になる、と言うことなんだよね。

試しに
$ a=-2 $
$ b=-3 $
$ c=5 $
を与式に代入すると、確かに $ -1 $。

こんな簡単な確認作業に辿り着くのに３日間…＿|￣|○

与式が $ -1 $ になったり $ 2 $ に成ったりするんだから、どちらになる時に $ a,~b,~c $ はどんな値なのか！
そこまで求めないといけないと言うことなんでしょう。

みなさんは、チャート式数学の答えの記述、理解できたでしょうか？　私は３日かかってしまいました。

今日の記事は参考になりましたかね…それとも
「こんなことに疑問を持っちゃうの？」
と言った感じですかね。( ^^;

とにかく、今日も前向きに日々を過ごしています。