時空 解 さんの日記
2022
3月
11
(金)
20:52
前の日記
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。
昨日はブログの投稿が夜になってしまいました。朝から忙しかったことと、再就職の件。それから重要例題５５に付いて考えていましたから、遅くなってしまいました。おまけに「青チャート式数学II、重要例題５５」に関連して、２項定理をキチンと押さえておく必要性を感じました。
それでブログの投稿が遅くなったんです。すみません。m( _ _ )m
今日は「青チャート式数学II、重要例題５５」の設問 (1) について、その解答に肉付けをしてゆきたいと思います。
チャート式の解答はシンプルと言いますか、説明不足と言いますか…ですからね。( ^^;
でも、これもなかなか骨の折れる作業でした。ブログの投稿がまた夜になってしまいました。重ね重ね申し訳ありませんでした。m( _ _ )m
さて、重要例題５５の設問 (1) には、２つの解答が載っています。
展開の公式の発想を利用する解答と、もう一つは (別解として) ２項定理を利用する解答です。
どちらも
xn−1=(x−1)2⋅Q(x)+ax+b
までは一緒ですけどね。
まずは上式が書けないといけません。
ポイントは xn−1 を (x−1)2 で割るのだから、余りは x2 の次数よりも小さい次数が余る、と言う点です。
ですから、余りを ax+b と、x の１次式で表せることがポイントですね。
これに付いては、チャート式数学の解答も下記のように表現しています。
問題の余りを求めるためには、余り ax+b の a, b ２つの未知数を求めれば良いのです。
ここまでは良いですよね？
ここで (丸１) の式に x=1 を代入してみましょう。
そうすることで、２つの未知数が１つの未知数で求められるようになります。
1n−1=(1−1)2⋅Q(1)+a⋅1+b
0=(0)2⋅Q(1)+a+b
0=0⋅Q(1)+a+b
従って a+b=0 ⇒ b=−a
上記のことが、チャート式数学の解答には下記のように１行で書かれています。
これで求めなくてはならない未知数 a, b が１つ ( a ) に成りましたね。
(丸１) の式も
xn−1=(x−1)2⋅Q(x)+ax−a
xn−1=(x−1)2⋅Q(x)+a(x−1)
と変形できます。
では、ここから a を求めるにはどうすればようでしょうか？
ここまでくると、チャート式数学の解答の続き、下記の意味が見えてきますよね。
さて、ここまでて上の最後の行 (解答 8行目) の式
xn−1+xn−2+⋯⋯+1=(x−1)Q(x)+a
から a を求めることが出来ればいいですよね。
でも、ちょっとその前に…。
分かりずらいのは、解答の 7行目 ですよね。
xn−1=(x−1)(xn−1+xn−2+⋯⋯+1)
は本当に正しいのか？ 一度確認する必要があります。
(ここが展開の公式の発想で、式変形を試みているところです)
展開してみましょう。
右辺に分配則を使って書いてみると
(x−1)(xn−1+xn−2+⋯⋯+1)=x(xn−1+xn−2+⋯ ⋯+1)
−1(xn−1+xn−2+⋯ ⋯+1)
=xn−1
となりますので等しいことが確認できました。ここまでくれば後は
xn−1+xn−2+⋯⋯+1=(x−1)Q(x)+a
から a を求める方法を考えれば良いことがわかりますよね。
では、次に進みましょう。
(x−1)Q(x)+a の x に 1 を入れてみるとどうなりますか？
(1−1)Q(1)+a=0⋅Q(1)+a ですから、a ですよね。
xn−1+xn−2+⋯⋯+1 の x に 1 を入れてみると、どうなりますか？
1 は何乗してもやっぱり 1 ですからね。1 が n−1 個並ぶ足し算になります。最後に +1 がありますから、1 が n 個の足し算というわけです。
つまり
a=n
となります。
このことが解答には下記のように書かれているのです。
これで、まずは展開の公式の発想を利用して、式変形を試みる解法の肉付けが終わりました。
次は二項定理を利用する解答 (別解) の肉付けですが、ブログ記事が長くなりますので、次の記事に回すことにしました。
そうしないと、記事が投稿できないのです。…きっと文字数制限が掛かってますね。( ^^;
では、続きは次のブログ記事に託します。
昨日はブログの投稿が夜になってしまいました。朝から忙しかったことと、再就職の件。それから重要例題５５に付いて考えていましたから、遅くなってしまいました。おまけに「青チャート式数学II、重要例題５５」に関連して、２項定理をキチンと押さえておく必要性を感じました。
それでブログの投稿が遅くなったんです。すみません。m( _ _ )m
今日は「青チャート式数学II、重要例題５５」の設問 (1) について、その解答に肉付けをしてゆきたいと思います。
チャート式の解答はシンプルと言いますか、説明不足と言いますか…ですからね。( ^^;
でも、これもなかなか骨の折れる作業でした。ブログの投稿がまた夜になってしまいました。重ね重ね申し訳ありませんでした。m( _ _ )m
さて、重要例題５５の設問 (1) には、２つの解答が載っています。
展開の公式の発想を利用する解答と、もう一つは (別解として) ２項定理を利用する解答です。
どちらも
xn−1=(x−1)2⋅Q(x)+ax+b
までは一緒ですけどね。
まずは上式が書けないといけません。
ポイントは xn−1 を (x−1)2 で割るのだから、余りは x2 の次数よりも小さい次数が余る、と言う点です。
ですから、余りを ax+b と、x の１次式で表せることがポイントですね。
これに付いては、チャート式数学の解答も下記のように表現しています。
解答 (1行目 ～ 3行目)
(1) xn−1 を (x−1)2 で割ったときの商を Q(x)、余りを ax+b とすると、次の等式が成り立つ。
xn−1=(x−1)2⋅Q(x)+ax+b …(丸１)
問題の余りを求めるためには、余り ax+b の a, b ２つの未知数を求めれば良いのです。
ここまでは良いですよね？
ここで (丸１) の式に x=1 を代入してみましょう。
そうすることで、２つの未知数が１つの未知数で求められるようになります。
1n−1=(1−1)2⋅Q(1)+a⋅1+b
0=(0)2⋅Q(1)+a+b
0=0⋅Q(1)+a+b
従って a+b=0 ⇒ b=−a
上記のことが、チャート式数学の解答には下記のように１行で書かれています。
解答 (4行目)
両辺に x=1 を代入すると 0=a+b すなわち b=−a
これで求めなくてはならない未知数 a, b が１つ ( a ) に成りましたね。
(丸１) の式も
xn−1=(x−1)2⋅Q(x)+ax−a
xn−1=(x−1)2⋅Q(x)+a(x−1)
と変形できます。
では、ここから a を求めるにはどうすればようでしょうか？
ここまでくると、チャート式数学の解答の続き、下記の意味が見えてきますよね。
解答 (5行目 ～ 8行目)
(1) に代入して xn−1=(x−1)2Q(x)+ax−a
=(x−1){(x−1)Q(x)+a}
ここで、xn−1=(x−1)(xn−1+xn−2+⋯⋯+1) であるから
xn−1+xn−2+⋯⋯+1=(x−1)Q(x)+a
さて、ここまでて上の最後の行 (解答 8行目) の式
xn−1+xn−2+⋯⋯+1=(x−1)Q(x)+a
から a を求めることが出来ればいいですよね。
でも、ちょっとその前に…。
分かりずらいのは、解答の 7行目 ですよね。
xn−1=(x−1)(xn−1+xn−2+⋯⋯+1)
は本当に正しいのか？ 一度確認する必要があります。
(ここが展開の公式の発想で、式変形を試みているところです)
展開してみましょう。
右辺に分配則を使って書いてみると
(x−1)(xn−1+xn−2+⋯⋯+1)=x(xn−1+xn−2+⋯ ⋯+1)
−1(xn−1+xn−2+⋯ ⋯+1)
=xn−1
となりますので等しいことが確認できました。ここまでくれば後は
xn−1+xn−2+⋯⋯+1=(x−1)Q(x)+a
から a を求める方法を考えれば良いことがわかりますよね。
では、次に進みましょう。
(x−1)Q(x)+a の x に 1 を入れてみるとどうなりますか？
(1−1)Q(1)+a=0⋅Q(1)+a ですから、a ですよね。
xn−1+xn−2+⋯⋯+1 の x に 1 を入れてみると、どうなりますか？
1 は何乗してもやっぱり 1 ですからね。1 が n−1 個並ぶ足し算になります。最後に +1 がありますから、1 が n 個の足し算というわけです。
つまり
a=n
となります。
このことが解答には下記のように書かれているのです。
解答 (9行目 ～ 11行目)
この式の両辺に x=1 を代入すると 1+1+⋯⋯+1⏟n個=a
よって a=n b=−a であるから b=−n
ゆえに、求める余りは nx−n
これで、まずは展開の公式の発想を利用して、式変形を試みる解法の肉付けが終わりました。
次は二項定理を利用する解答 (別解) の肉付けですが、ブログ記事が長くなりますので、次の記事に回すことにしました。
そうしないと、記事が投稿できないのです。…きっと文字数制限が掛かってますね。( ^^;
では、続きは次のブログ記事に託します。
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