みなさん、おはようございます。時空 解です。

今日は「青チャート式数学II」の 基本例題６５を解いていました。３次方程式が２重解をもつ条件 と言うのがポイントの問題です。

青チャート式数学の解答は、与式を $ a $ について整理し、因数分解をする手順で解いています。

私はこれを「解と係数の関係」で解いてみたんですよね。

３つの解を慣習に従って $ \alpha,~ \beta,~ \gamma $ とすると

$ \alpha + \beta + \gamma = - \left( \displaystyle \frac{ a-2 }{ 1 } \right ) $
$ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 0 $
$ \alpha \beta \gamma = - \left( \displaystyle \frac{ -4a }{ 1 } \right ) $

という連立方程式を立てることができます。

ここで、問題は２重解を持つと言うことなので $ \alpha = \beta $ とすると連立方程式を解くことができます。

結果として (端折ってすみません)

$ a = \displaystyle \frac{ 1 }{ 5 } $

がでてくるんです。

もともとの方程式
$ x^3 + (a -2)x^2 - 4a = 0 $

これに $ a = \displaystyle \frac{ 1 }{ 5 } $ を代入すると
$ 5x^3 -9x^2 -4 = 0 $

となって、
$ (x-2)(5x^2 + x +2) = 0 $

と因数分解は出来るのですが…

重解が出てこない…それに複素数解が出てきてしまう。

うーむ…どうして「解と係数の関係」だと解けないのかに悩む私です。
どこかで計算間違いしているかな？

それとも、なにか数学の深い問題が隠されているのでしょうかね。
まぁこの問題に付いて深く掘り下げると時間が掛かってしまいます…。

保留としておきますね。m( _ _ )m

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。