皆さんこんにちは、時空 解です。

昨日は会社がお休みでしたので、数学検定２級２次のための勉強をしておりました。
それで２重根号の外し方について復習していたのですが、そこでハタと考えてしまったことがあります。

２重根号の外し方の基本として、与式のルートの中身を $ \left( \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \right)^2 $ と言う形に変形すると言うものがあります。
まぁここまではいいですよね。例えば表題にも示しました

$ \sqrt{ 10 - 2 \sqrt{21} }$

はどう変形するかと言うと

$ \sqrt{ 10 - 2 \sqrt{21} } = \sqrt{ (7 + 3) - 2 \sqrt{7} \sqrt{3} } = \sqrt{ \left( \sqrt{7} - \sqrt{3} \right)^2 } = \sqrt{7} - \sqrt{3} $

と出来ればいいですよね。
でもルートの中身を２乗の形に変形するときに、ちょっと気になるのが $ \sqrt{7} $ と $ \sqrt{3} $ のどちらにマイナス記号を付けるのか？　…ですよね。どちら側にマイナス記号を付けようとも、それを２乗するのですから値は正。

変形として、下記のどちらも間違いではありません。

・$ \sqrt{ \left( \sqrt{7} - \sqrt{3} \right)^2 } $
・$ \sqrt{ \left( \sqrt{3} - \sqrt{7} \right)^2 } $

では、どうやって上記の内の一つを選んだらいいの？

「うーむ…」
「ルートの中身だからなぁ… $ \sqrt{3} - \sqrt{7} $ だと負数。実数値の問題では禁止事項だからだな…」

と、今までは思い込んでいたのです。

でも今回、ちゃんと計算をしてみて分かりました。
$ \sqrt{7} $ と $ \sqrt{3} $ のどちらにマイナス記号を付けるのか？

その判断基準は

与式の値が正の値か否か

によって、ですよね。

こんなことが分かっていなかった。＿|￣|○

与式の値が負、つまり与式の前にマイナス記号が付いていたら $ \sqrt{3} - \sqrt{7} $ にしてやらないといけないのです。

$ - \sqrt{ 10 - 2 \sqrt{21} } = - \sqrt{ (7 + 3) - 2 \sqrt{7} \sqrt{3} } = - \sqrt{ \left( \sqrt{7} - \sqrt{3} \right)^2 } = \sqrt{3} - \sqrt{7} $

私は下記のことと混同しておりました。

$ \sqrt{ 2 \sqrt{21} - 10 } = \sqrt{ \left( 10 - 2 \sqrt{21} \right) \cdot (-1) } = \sqrt{ 10 - 2 \sqrt{21} } \cdot i $

いやはや、２重根号の外し方に付いてはもう分かっているつもりだったのですが、まだまだです。

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
( ブログのコメント欄は 2022-04-16 に閉鎖いたしました )