第327回　２級２次 問題７.(必須)
放物線 $ y= -2x^2 + 8x -8 $ 上の 点Ａ $ (0,~-8) $ における接線を $ \mathcal{ l } $ とします。このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 直線 $ \mathcal{ l } $ の方程式を求めなさい。
(2) 放物線と直線 $ \mathcal{ l } $ および $ x $ 軸で囲まれた図形の面積 $ S $ を求めなさい。　(測定技能)

 = 模範解答 = 

(1) $ y = -2x^2+8x-8 $ より
$ y' = -4x + 8 $

であるから、点Ａ $ (0,~-8) $ における放物線の接線 $ \mathcal{ l } $ の傾きは
$ -4 \cdot 0 + 8 = 8 $

直線 $ \mathcal{ l } $ は点Ａを通るので、方程式は
$ y +8 = 8(x - 0) $
$ y = 8x - 8 $

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$ \underline { (答)　 y = 8x -8 } $

 

(2) $ y = -2x^2 + 8x - 8 $
$ = -2(x^2 - 4x) -8 $
$ = -2(x - 2)^2 $

より、放物線は 点 $ (2,~0) $ で $ x $ 軸に接している。また、(1) の結果から、直線 $ \mathcal{ l } $ と $ x $ 軸との交点は $ (1,~0) $ である。

$ 0 \leqq x \leqq 2 $ において<br />
$ -2x^2 + 8x - 8 \leqq 8x - 8 $ <br />
であり、求める面積 $ S $ は、放物線と $ x $ 軸および $ y $ 軸で囲まれた図形の面積から、底辺が $ 1 $ 、高さ $ 8 $ の直角三角形の面積を引いたものに等しいので
$ S =  \displaystyle \int_{0}^{ 2 } \left\{ -(-2x^2 + 8x -8 ) \right\} dx - 1 \cdot 8 \cdot \displaystyle \frac{ 1 }{ 2 } $

$ = \left[ \displaystyle \frac{ 2 }{ 3 }x^3 -4x^2 + 8x \right]_{0}^{2} - 4 $
$ = \left\{ \left( \displaystyle \frac{ 16 }{ 3 } - 16 + 16 \right) - \left( 0 - 0 + 0 \right) \right\} - 4 $
$ = \displaystyle \frac{ 4 }{ 3 } $

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$ \underline { (答)　 S = \displaystyle \frac{ 4 }{ 3 } } $