皆さんこんにちは、時空 解です。

今日は書籍「マスペディア 1000」から、サイクロイドにまつわるトピックをまとめてご紹介しましょう。
私個人としては、このサイクロイドと言う言葉はよく聞いてはいたのですが、明確な数式や歴史的なことは知りませんでした。

でも、紐を垂らすと、その曲線がどんな曲線になるのか？　…それは放物線ではない、と言うことは知っていましたけどね。
それが懸垂線と言われていて、ライプニッツやホイヘンス、ヨハン・ベルヌーイの手で証明されていたということは知りませんでした。

結構有名なお話のようなので今日のブログに投稿いたします。
 

・296 等時曲線問題
1659年に、クリスティアーン・ホイヘンスは斜面を転がり落ちる玉について考察していた。そして玉をどこに置いたとしても、下まで転がり落ちるのにかかる時間がぴったり同じになるような形状の曲線を見付けた！これを等時曲線といい、サイクロイドのことだった。

・297 最速降下線問題
1696年、ヨハン・ベルヌーイは「ライプツィヒ学報」の読者に難問を課した。
２点 $ A,~B $ があり、$ A $ は $ B $ よりも高い位置にあるとする (ただし $ B $ の真上にはない)。そして、$ A $ から $ B $ へ曲線を描き、玉を転げ落とす。このとき、玉を可能な限り早く $ B $ に到達させたいとかる。とのような曲線を描けばようだろうか？」
これが最速降下線問題だ。
この問題に正解した者は複数いたが、たとえば、ニュートン、ライプニッツ、ヨハン・ベルヌーイ自身、その弟のヤコブ・ベルヌーイ。
答えはサイクロイドだった。

・298 サイクロイド
水平な直線を引き、それにそって円を転がす。このとき、円上の１点に印をつけ、その点が描く曲線がサイクロイドだ。
詳しくはリンク Wikipedia にて

・299 内サイクロイドと外サイクロイド
　　　(省略)

・300 ルーレット
　　　(省略)

・301 懸垂線 (けんすうせん)
鎖の両端だけを固定し壁に垂らす (鎖は無限に柔軟で密度が均一だと仮定する)。このとき、どのような曲線が描かれるだろうか？　これは、ヤコブ・ベルヌーイが1690年に「ライプツィヒ学報」のなかで提示した問題だが、ガリレオ・ガリレイはこのことについて1638年にすでに考えていた。そして、これは放物線であると述べた。
しかし、それが誤りであることが、ヨアヒム・ユンギウスによって1669年に証明された。
 

ここで、ネット上に懸垂線に関する資料が見つかりましたので、それにもリンクを貼っておきます。(PDF ファイルです)

津田塾大学数学史シンポジウムより　2015年 10月 10日 (土)
・懸垂線が放物線と異なることの証明
　　ホイヘンスよりメルセンヌへ 1646年 11月 (PDF ファイル)

上記の資料によると、「ユンギウスが証明した」と言うよりは「違うと主張した」と言う程度のようですね。
マスペディア 1000 の方を信じるか、上記の資料の内容を信じるか…どちらにしても放物線と懸垂線は違う数式だということですね。

では今日も休日を始めています。休日の充実こそ、人生の充実です。
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