皆さん今晩を、時空 解です。

やっと除外点が存在 (？) する理由が分かりました。それは数式

$mx -y = 0$ より $mx = y$ が出て来ますが…
これに $x = 0$ を代入してみると分かります。

$x = 0$ だったら、例え $m$ が全ての実数を取り得たとしても、$y$ が定まりません。

問題文は
「$m$ が実数全体を動くとき、次の２直線の交点 $P$ はどんな図形を描くか。」
と言う問題ですからね。$m$ が基準です。

円の方程式
$(x-1)^2 + \left( y - \displaystyle \frac{1}{2} \right)^2 = \displaystyle \frac{ 5 }{ 4 }$

これは $x = 0,~ y = 1$ を代入しても、もちろん成立しますよね。

…なるほどぉ～問題文は 「$m$ が実数全体を動くとき」と言っているので、$mx = y$ の制約が除外点に繋がるんですね。
分かってしまうと簡単なことでしたね。( ^^;

$m$ の軌跡としての方程式 $(x-1)^2 + \left( y - \displaystyle \frac{1}{2} \right)^2 = \displaystyle \frac{ 5 }{ 4 }$ だから、除外点があるのです。
円の方程式 $(x-1)^2 + \left( y - \displaystyle \frac{1}{2} \right)^2 = \displaystyle \frac{ 5 }{ 4 }$ であれば、とうぜん除外点なんて無いと言うことですね。

やっと腑に落ちました。やっぱり柔軟に考えるというのは難しい…＿|￣|○
ではでは…

( ブログのコメント欄は 2022-04-16 に閉鎖いたしました )