皆さんこんにちは、時空 解です。

昨日は無事、数学検定の２級２次を受検してきました。
自動車で受検会場まで行くことができて、とても助かりました。
会場のある場所は、周りに畑が多くて静かな場所でしたから、それも都合が良かったです。

問題を解いた手応えはと申しますと…３問 (内一つは必須問題) は自分なりにキッチリと解答を記述することができたのですが、それ以外は白紙状態ですね。ま、これ以上は語らないことにいたします…。( ^^;

数学検定が終了して家に帰って来たら、やっぱり気が抜けた感じでした。
ガックリとしてテレビの前のソファーに座ったら、もう立てない (？) …立つ気が起きない状態でした。

でも、今日からまた頑張って、いつもの習慣、数学の学習を進めてゆきたいと思っています。(検定には不合格でも、また挑戦して行きます)

さて、今日の朝は録画してあった「笑わない数学」の虚数を視聴しました。
毎回想うのですが、パンサー尾形さんは一生懸命でいいです。なんだか好感を持ってしまいます。

(まぁそれはともかく…)

この虚数の回は内容が充実している気がします。
話の取っ掛かりは、虚数の大小関係についてのお話から入ります。

うーむ…知りませんでしたが、虚数には大小関係は問わないのですね。
順番などは付けられるが、大小関係式としては成り立たないと言うことです。
その理由は、例えば下記のサイトを読めば納得が行きます。

・虚数や複素数に大小がないのはなぜ？　(とね日記)
・複素数に大小関係は使えない理由

簡単な例を挙げるならば
$ 0 \lt i $ とします。両辺に $ i $ を掛けると
$ 0 \cdot i \lt i^2 $ 　ですから、
$ 0 \lt -1 $ 　と言う不等式が出てきてしまいます。

これは矛盾しますよね。
そもそも $ i $ はプラスなのかマイナスなのかと言う問題もありますが、$ i $ を含む不等式はややこしくなることがイメージできるでしょう。

番組の始めに、この $ i $ の大小関係
$ \sqrt{ -1 } \lt 2 \sqrt{ -1 } $ ？
が問われて、のっけから面白くなります。

それに続いて、
1. 人類は整数をどのようにして受け入れて来たか
2. 分数の受け入れ (有理数)
3. 無理数の受け入れ ( $ \sqrt{ 2 } $ が無理数であることの証明 )
4. ゼロの受け入れ
5. マイナス値の受け入れ ( $ (-1) × (-1) = 1 $ の証明 )

と、話は続きます。

$ \sqrt{ 2 } $ が無理数であることの証明はなかなか勉強になりました。
背理法を使って、$ \sqrt{ 2 } $ が有理数であると仮定すると

$ \sqrt{ 2 } = \displaystyle \frac{ Q }{ P } $
$ \sqrt{ 2 } \cdot P = Q $　とできます。両辺を２乗すると
$ 2 \cdot P^2 = Q^2 $
となります。ここで両辺にでてくる $ 2 $ の数について考えてみるんですよね。
ここがちょっと私には難しかったのですが…。( ^^;

考えてみると、左辺にはすでに $ 2 $ が一つ出てますからね。
右辺の $ Q^2 $ の中には必ず $ 2 $ が存在していなくてはならなくて、しかも $ Q $ の中に一つ $ 2 $ が入っていれば、$ Q^2 $ なので、$ 2 $ が２つは入っていることになります。ゼロ個だと、左辺側にすでに一つあることと矛盾します。

結局、左辺には $ 2 $ が奇数個、右辺には $ 2 $ が偶数個となるはずなのですが、そうすると等号が矛盾します。

$ \sqrt{ 2 } $ が無理数であることを発見したのは、ピタゴラス教団の中にいた弟子のひとり、ヒッパソスだと言うことは知っていましたが、その証明方法に納得は出来ていませんでした。
勉強になりました。

とにかく人類が虚数を受け入れるためには、まずは 1 ～ 5 を受け入れる必要があったんですね。大変なことです。
この後にも
・ジェロラモ・カルダーノ
・ラファエル・ボンベリ
・デカルト
・オイラー
・ガウス

と関わってくるのですが、その辺はまた明日にしましょう。
今日はちょっとこれから出かけて来ます。

ではでは

では今日も休日を始めています。休日の充実こそ、人生の充実です。
( ブログのコメント欄は 2022-04-16 に閉鎖いたしました )