皆さんこんにちは、時空 解です。

昨日、分からなかった問題が、今日解決しました。
昨日は下記の問題を公式を使って解いても違う答えが出てしまったんですけどね。

問題１３. 次の計算をしなさい。
$ \displaystyle \sum_{ n = 1 }^{ 6 } 2^n + 3^{n-1} $

答： $ 490 $

この問題は下記の公式を使って解けばよい問題であることは確かなんですが、ポイントは $ n-1 $ ですよね。

$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k $
$ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } r^k = \frac{ r(r^n -1) }{ r-1 } $　　$ ( r \neq 1 ) $

$ n-1 $ を公式にどうあてはめれば良いのかが分からないと、私のような間違いをしてしまいますね。( ^^;

私は
$ \displaystyle \sum_{ n = 1 }^{ 6 } 3^{n-1} $ 。この式を公式にあてはめて $  \displaystyle { \frac{ 3(3^{6-1} -1) }{ 3-1 } = 363 } $
としてしまいました。

このあてはめ方が違っているんですよね。

実は
$ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } r^k = \frac{ r(r^n -1) }{ r-1 } $　　$ ( r \neq 1 ) $
この公式を省略しないで書くと下記のようになります。

$ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } r^k = \frac{ r( r^n - \textcolor{red}{r^0} ) }{ r-1 } $　　$ ( r \neq 1 ) $

ですから、公式に正しく当てはめると
$ \displaystyle \sum_{ n = 1 }^{ 6 } 3^{n-1} = \frac{ 3(3^{6-1} - 3^{0-1}) }{ 3-1 } = 364 $
なんですよね。

赤い部分のところを理解するためには、実際に足し算の形を書き出してみるとわかります。

$ \displaystyle \sum_{ n = 1 }^{ 6 } 3^{n-1} = 3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 $
上の式の足し算を $ S_6 $ 、$ 3 = r $ とすると

$ S_6 = r^0 + r^1 + r^2 + r^3 + r^4 + r^5 $
$ r \cdot S_6 = r^1 + r^2 + r^3 + r^4 + r^5 + r^6 $

$ r \cdot S_6 - S_6 = r^6 - r^0 $
$ (r-1) \cdot S_6 = r(r^{6-1} -r^{0-1}) $

$ \therefore　S_6 = \displaystyle \frac{  r(r^{6-1} -r^{0-1}) }{ r-1 } $

これでこの問題は解決したと思います。

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
( ブログのコメント欄は 2022-04-16 に閉鎖いたしました )