皆さんこんにちは、時空 解です。

「三角関数の合成」の公式について、以前もいろいろと考えていました。
そして今日も考えていたのですが…やっぱりスッキリとした証明ができません。＿|￣|○

このことは２０２１年の６月頃にもトライしていたことでした。

当時のブログも残っています。
・「三角関数の合成」を理解するための、一つのヒント

上記の記事に書かれている等式
$ a \cdot \sin \alpha = b \cdot \cos \alpha $

この数式は式変形から導きだされた等式なんですが…これがどうにも歯がゆいのです。
等式の導き方は下記のブログ
・このブログの内容、不十分です… "「三角関数の合成」の完全理解。説明にいきなり「座標平面に点 $ (a,b) $ を取る」 $ ( \sqrt{a^2+ b^2} $ とする理由の検証 (書きかけです…いみません) "

に記述してありますので参照して頂いたいのですが、個人的にはこんなやり方ではなく
「辺の長さと面積」
の関係から理解し、証明したい…そんな想いがあるんです。

この想いを刺激したのが「相加平均と相乗平均の関係」なんですよね。
この関係って、四角形の "２辺の長さの和" と "面積 ×２" の関係と考えたときに
$ a \cdot \sin \alpha = b \cdot \cos \alpha $

が結びつきました。
「相加平均と相乗平均の関係」の等式が成立する条件は、$ a = b $ なんですよね。これって
$ a \cdot \sin \alpha = b \cdot \cos \alpha $

と直感的に結びついたんです… $ \alpha $ の角度って $ a = b $ と同じように等しくするための $ \alpha $ に思えます。
でもね… "等しくするための $ \alpha $ であることは間違いないと思うのですが、等しくするための $ \alpha $ を $ \theta $ に足すとどうして斜辺の長さ、「三角関数の合成」の公式に出てくる $ \sqrt{ a^2 + b^2 } $ につながるのかが、図形的に説明できないのです。

そもそも「相加平均と相乗平均の関係」についても四角形の "２辺の長さの和" と "面積 ×２" の関係からは説明ができないですからねぇ…うーむ。
一般的な説明はこのサイトをご参照ください。
・【3分で分かる】相加相乗平均の証明と大小関係、使い方をわかりやすく

$ a \cdot \sin \alpha = b \cdot \cos \alpha $
の数式が書けてから１年と半年…いまだに自分の直感が記述できない私です。

まぁ図形的な説明にこだわる必要がないのかも知れませんけどね…自分としてはしっくりこないもので…

ともかく１日考えて解決できませんでした。
…もしかしたら自分の直感が正しくないのかも知れません…。

今回もこれで一旦中止にしようと思います。
アクセスして頂いた皆さんには申し訳ありませんが、私の力及ばずでした。
すみませんでした。m( _ _ )m

では今日も休日を始めています。休日の充実こそ、人生の充実です。また夜お会いできるよう、努力しています。
( ブログのコメント欄は 2022-04-16 に閉鎖いたしました )