皆さんこんにちは、時空 解です。

今日は昨日の続きと言うことで、下記の不定方程式の問題をどう解くのかを見てみましょう。
 
まずは与式
$ 4x + 5y = 2 $… (1)
を満たす $ x $ と $ y $ の組を一つ見つける。(これが難しい時があるんですけどね ( ^^;  )

例えば
$ x = -2 $
$ y = ~2 $
を代入すると、与式は正しく $ 2 $ となりますよね。これを (2) とします。
$ 4 \cdot (-2) + 5 \cdot (2) = 2 $… (2)

次に、(1) - (2) を求めると
$ 4 \cdot (x +2) + 5 \cdot (y -2) = 0 $…(3)
を得ます。

(3) の式を変形すると
$ 4 \cdot (x +2) = -5 \cdot (y -2) $
$ 4 \cdot (x +2) = 5 \cdot (2 - y) $
となり、$ 4 $ と $ 5 $ は互いに素であるから

$ (x + 2) $ は $ 5 $ の倍数
$ (2 - y) $ は $ 4 $ の倍数
と言える。

$ \therefore (x + 2) = 5n $… (4)　　 ( $ n $ は整数 )

これより $ x = 5n - 2 $ となりますよね。また、この $ x $ を与式 (1) に代入して変形すると
$ 4(5n - 2) + 5y = 2 $
$ 20n - 8 + 5y = 2 $
$ 5y = 10 - 20n $
$ y = 2 - 4n $

ですよね。答えは
$ x = 5n - 2 $
$ y = -4n + 2 $
です。

不定方程式の問題を解くときに、参考になる「青チャート数学Ａ」の動画へのリンクも貼っておきます。
ご参照ください。
・基本例題 １３６ １次不定方程式の整数解 (2) … $ ax + by = c $

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
( ブログのコメント欄は 2022-04-16 に閉鎖いたしました )