皆さん こんにちは、時空 解です。

さっそく２次の必須問題である問題６を見てゆきましょう。

第412回　数学検定２級２次　問題６…(模範解答は右画像)


この問題。…実は振り返ってみて分かったことなんですが、設問 (1) は答えられなくてはいけなかった問題でした…。

設問 (1) の与式に定数 $ k $ が入っていますよね？この $ k $ が無かったとしたら…。
きっと検定中にでも解けていたことでしょう。

下記に $ k $ がない場合の問題を書いてみましょう。
 
この問題、(1) の不等式ならば解くのは簡単です。
なんといっても２次方程式の解の公式を使って $ x $ の値がでてきますからね。

でも、もともとの問題には $ k $ が入っているので
「あれ？ この問題ってどんな問題だ … $ k $、$ k $, ケイッ…？」
と、なんだか頭の中が "数の森、変数の霧" の中に迷い込んでしまったんです。

まぁこんなふうになる自分は、数学の実力のなさを露呈しているんですけどね。＿|￣|○
(こんな私事はともかく…)

ともかく
$ x^2 -2x -4 \lt 0 $
は左辺を因数分解すると
$ \{x +(1 + \sqrt{ 5 } ) \}\{x +(1 - \sqrt{ 5 } ) \} \lt 0 $
です。

ですから $ x $ の範囲は、２次方程式のグラフが下に凸なので
$ (1 - \sqrt{ 5 } ) \lt x \lt (1 + \sqrt{ 5 } ) $
だとわかります。

ここまでできれば、もう頭の中は "数の森、変数の霧" から抜け出てきました。
改めて問題６の与式 (1) を見てみると

$ x^2 -2kx +k^2 -4 \lt 0 $ にでてくる $ k^2 -4 $ は $ (k +2)(k -2) $ です。
これも左辺は因数分解できすよね。因数分解すると
$ \{ x +(k+2) \} \{ x +(k-2) \} \lt 0 $
となって、$ (k+2) \gt (k-2) $ なので $ x $ の範囲は
$ k-2 \lt x \lt k+2 $
ですよね。

これで模範解答と同じ答えになりました。

うーむ…
少なくともこの問題、設問 (1) だけでも解けなくてはいけなかったです。残念…。

ところで、ちょっとわかりにくいのが設問 (2) ですよね。
これはきっちりとグラフが頭の中に描けるか否か。(1) と (2) のグラフの位置関係がちゃんと把握できるか、です。

模範解答を見てみても、なんだかどうしてこれでいいのやら分からなかった私なんですが、グラフを描いてみてやっと納得できました。
そのグラフを動画として「数検の必勝アイテム」にアップしておきました。

第412回　数学検定２級２次　問題６


たった 18秒たらずの動画ですが、ぜひ視聴してみてください。

$ k $ の取りうる範囲は、２つのグラフがそれぞれ下記の２つの位置関係にいるところですよね。
(a) 　　(b)

赤いグラフが $ - \sqrt{ 3 } \lt x \lt \sqrt{ 3 } $ である白の領域から

　　(a) 左側に来るときの $ k $ の範囲のイメージ。
　　　　　　　　　 (1) を満たすすべての実数について、(2) が赤いグラフの右側で成立している。

　　(b) 右側に来るときの $ k $ の範囲のイメージ。
　　　　　　　　　 (1) を満たすすべての実数について、(2)が赤いグラフの左側で成立している。

これが設問 (2) の答に繋がるイメージです…。

このイメージが頭の中になかなか浮かばない私です。＿|￣|○
このイメージを持って $ k $ の範囲を不等式で表したのが模範解答ですよね…こんなふうに記述・表現するんですね。

では、明日には問題７をやってゆきますね。今日はここまでといたします。

では今日も休日を始めています。休日の充実こそ、人生の充実です。
( ブログのコメント欄は 2022-04-16 に閉鎖いたしました )