皆さん こんにちは、時空 解です。

今日はいろいろと「条件付き確率」の動画を二つ、三つ YouTube で視聴していました。
それで自分はどこでつまずいていたか？　…それがだんだんと分かってきた次第です。
ですので、条件付き確率の自分なりの解釈の仕方について、今回は書いてみたいと思います。

書くに当たって、ちょっと前に (11月25日) ご紹介してあった

・条件付き確率が不安なら一旦これ見てくれ

この中に出てくる問題を例に取ってみましょう。
 

この問題って、結局は $1$ ～ $10$ のカードの内から最終的に $6$ が選ばれる確率は？
と、問うている問題だと思うのですが…。

まずはこの感覚が混乱の原因かもしれませんね。( ^^;
でもお付き合い下さい。きっと最後には「ああ、なるほど」と思って頂けると思いますのでね。

まずは
$1$ から $10$ のうち、偶数を始めに選び、次に $3$ の倍数を選ぶと、$6$ のカードのみとなる。
だから最終的に選ばれるカードは $6$ のカード１枚。

次に、条件が反対だったとしたら…どうなるでしょうか？　やっぱり
$1$ から $10$ のうち、$3$ の倍数を始めに選び、次に偶数を選ぶと、$6$ のカードのみとなる。
だから最終的に選ばれるカードは $6$ のカード１枚。

ですよね？
だから、とにかくこの問題って、

１０枚のカードの中からダイレクトに１枚を取り出していて、そのカードを見ながら
「最初に偶数だったら、$3$ の倍数である確率は？」
と考えたり
「最初に $3$ の倍数だったら、偶数である確率は？」
と考えている、そんな問題です！？

うーむ…これってコッケイです。

だって現実には、手元には１枚のカードを持っている、と言う一つの事実しかないのですから。

そのカードを見ながら、
「もし最初に偶数と分かっていた場合…」
とか
「もし最初に $3$ の倍数であった場合…」
なんて、前提を妄想しているわけでしょ？

まったくバカバカしい問題な気がするんです。

手元に持っているカードを引く確率は、$6$ のカードであろうが、別の数字のカードであろうが、とにかくすべて
$\displaystyle \frac{ 1 }{ 10 }$
の確率で手に取る訳ですから…。

でもね。

これが賭博場とか、人との駆け引きが必要な場面だったとしたら…と、考えてみたんです。
そしたら、また違ってくるなぁと思えて来ました。妄想も妄想でなくなってくる。

人を混乱させるために…もしくは、人と駆け引きをするために、この条件付けが考えられます。

「人との駆け引きの場面」と言う設定…
たまたま最近、夢中になって観ているテレビドラマに "駆け引きの場面" を想像できました。

そのテレビドラマと言うのが
「今日からヒットマン」
です。笑顔

おおー、面白そうだ！ 

例えばね、第５話で相葉さん演じる伝説の殺し屋 "二丁" が、今回のミッションのターゲット "カンウ" にハンディをあげるシーンがありますよね。(動画、19分30秒から)
 
とすごみます。
おおーっ、カッコいい！　
(おっと、そんなことはともかく…)

とにかく賭博場とか、一対一の銃対決での駆け引き (一生に一度も無いと思うけどね) の時とかに、ハンディをあげる場合がありますよね。

そんなときに、この条件付き確率が役に立ちます。
カンウに取って、どちらのハンディをもらったほうがいいのか？

ドラマでは、カンウは
1. 前に出させてもらう
2. 片目をふさいでもらう
この両方をもらっているのですが。

相葉さん演じる二丁が銃を撃つのではなく、$10$ 枚のカードから１枚を引くのだとしましょう。
(急に緊張感が無くなりますが、そこはご勘弁を…)
さて、手元に持っているカードは何番のカードでしょうか？

1'. 前に出させてもらう　　(手元のカードは、偶数だと教えてもらう)
2'. 片目をふさいでもらう　(手元のカードは、$3$ の倍数だと教えてもらう)

さて、カンウとしてはどちらのハンディを貰ったほうが得でしょうか？
両方のハンディを貰えは、もう何番のカードかはわかります。
偶数であり $3$ の倍数であるカードは
$6$ しかありません。

では、
1'. 前に出させてもらう　　(手元のカードは、偶数だと教えてもらう)
のみだとしたらどうでしょうか？

これは解説動画にあるように
偶数のカードである確率は $\displaystyle \frac{ 5 }{ 10 }$
この条件付きで、$3$ の倍数である確率はとなると、本来の確率 $\displaystyle \frac{ 1 }{ 10 }$ よりも確率が良くなるんですよね。ハンディをもらっているから。

このハンディの効果とはどんなものでしょうか。
$\displaystyle \frac{ 5 }{ 10 }$ の中の１枚となるハンディなんです。

ですから、確率は $\displaystyle \frac{ 1 }{ 10 }$ から $\displaystyle \frac{ \frac{ 1 }{ 10 } }{ \frac{ 5 }{ 10 } }$ にアップすると言う訳です。
計算すると $\displaystyle \frac{ 1 }{ 5 }$

では、こんどは
2'. 片目をふさいでもらう　(手元のカードは、$3$ の倍数だと教えてもらう)
のみだとしたらどうでしょうか？

$3$ の倍数であるカードの確率は $\displaystyle \frac{ 3 }{ 10 }$
この条件付きで、偶数である確率はとなると、本来の確率 $\displaystyle \frac{ 1 }{ 10 }$ よりも、やっぱり確率が良くなるんです。でもちょっとハンディ量は違いますよね。

$\displaystyle \frac{ 3 }{ 10 }$ の中の１枚となるハンディなんです。

ですから、確率は $\displaystyle \frac{ 1 }{ 10 }$ から $\displaystyle \frac{ \frac{ 1 }{ 10 } }{ \frac{ 3 }{ 10 } }$ にアップすると言う訳です。
計算すると $\displaystyle \frac{ 1 }{ 3 }$

この結果より、カンウはどちらか一つハンディを選ぶとしたら、2. の「片目をふさいでもらう　(手元のカードは、$3$ の倍数だと教えてもらう)」方が得だと言うことになるんですよね。

おっと、まぁそんなこんなで「今日からヒットマン」を楽しみながら、数学の学習もしている今日この頃です。

うーむ…ちょっと学習効率が悪いかなぁ…。　( ^^;

「プロの殺し屋だったら、効率を優先しろ！」
と言う殺し屋の心得 "その３８" もあるとおり、数学者も効率を考えないとね。

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
☆ 夜もブログ投稿を始めました。"夜にもブログ NOW" (2023年 11月20日 ～)
中身はないけどね。悪しき夜の習慣 撲滅運動です。