50代から理数を学ぶ - 割り算と掛け算、順番があるのはこんな理由？

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時空解さんの日記

2016

12月 12

(月)

23:50

割り算と掛け算、順番があるのはこんな理由？

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カテゴリー数学

本文

みなさん、こんにちは。時空解です。
今日は数学検定の５級用の要点整理（中学１年生程度の数学）を勉強していて思った事を書きます。それは
「割り算と掛け算、前からの順番があるのはどうして？」
についてです。

この歳になると足し算よりも掛け算の方を先にやる、と言うのは当たり前になってしまって、その理由をあまり考えなくなるものですが、そもそも感覚的に理解出来ているものです。

しかし割り算と掛け算、その優先順位と言う事になると少し違ってきます。試しに下記の問題を解いみましょう。

上記の問題に足し算は入っていません。しかし掛け算の方が先、と言う中途半端な思い込みが何となくあって、割り算よりも先に掛け算をやってしまう方はいなかったでしょうか？掛け算と掛け算が続くと、どこから掛け合わせても一緒の答えになるので、掛け算式はあまり先頭から計算せず、やりやすい部分から計算してしまいがちです。
上記の問題で５分の２と２６分の９の掛け算を先にやってしまうと間違えた答えを出してしまいます。
高校生になると割り算記号 ÷ や掛け算記号 × もあまり見かけなくなります。これも間違える理由の一つかも知れません。

ともかく上記の問題は、先頭から順番に計算しないと間違えた答えを出してしまいます。

割り算と掛け算の計算式になると、どうして前から順番に計算する必要があるのでしょうか？

この疑問を考える前に、一つ、足し算と掛け算の優先順位について明確にしておきましょう。

足し算と掛け算の優先順位に付いては、とても分かり易い解説をネット上で見つけましたのでそちらにゆだねる事にします。ぜひ確認してみてください。
YAHOO! Japan 知恵袋：なぜ足し算、引き算より掛け算、割り算を優先…
この知恵袋の解説はとてもエレガント（？）だと思います。

中学の数学の先生方もこのように説明をされているのだと思いますが、いざ説明をしようとすると、これほどまとまった解説は素人にはできないものです。

さて、では "割り算と掛け算の計算式になると、どうして前から順番に計算する必要があるのか" について、この知恵袋のような的を得た解説をしてみたいと思います。

実はこの問いに対する解説も YAHOO! Japan 知恵袋にはあるのですが、ちょっとエレガントではありません。
YAHOO! Japan 知恵袋：掛け算と割り算の優先順位

"掛け算と割り算の優先順位" を考える場合、可換体という代数的概念を持ち込んで説明するのはどうかと思います。これは数（かず）と言うものを具体的な物、例えばリンゴやバナナの個数に数字を対応させて、数人で持ち寄ったり分配したりする行動を数式化する、そんな思考から遠ざかってしまう気がします。

"掛け算と割り算の優先順位" は可換体という代数的概念から考えるのではなく、言語的な、記号法から考えた方が分かり易いと思います。

私が考える説明は下記の通り。
計算式の計算を（基本的に）前から順番に行うのは、その計算式を立てる時（記述する時）に、特に理由がない限り前から順番に式を書いて行くから。
こちらの方がずっと明快な説明だと思います。

掛け算と割り算の優先順位は、文字や数式を記述する時の人間の感覚からくる順番です。もちろん順番に気を配って記述する事が必要で、そこには数学的観念が絡んできますが、数学の専門外の方たちにとっては、私の説明の方が納得できるでしょう。

果たして、みなさんはどう思いますかねぇ…。

では今日はこの辺で。
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