皆さん こんにちは、時空 解です。

今度の日曜日に実施される数学検定２級２次のために、過去問を解いていました。
それで
「これって、どうやって解くんだ？」
と思った問題がありましたのでご紹介します。

まぁ２次の問題じゃないんですけどね。( ^^;
２次の問題を解くために、まずは１次の問題を解いて頭をウォーミングアップしてから…と想って挑んだ問題です。

とにかく頭を切り替えないと解けない問題です。
それが下記
 
この分数の足し算式をみたら、まずは分母を共通化しようと思いますよね。
そこが罠なんですけどね…　

分母を共通化すると、３つの分数の分子が、それぞれ下記のような複雑な計算式になります。
$ 2(2+\sqrt{ 2 })(4+3 \sqrt{ 2 }) $
$ 3(1+\sqrt{ 3 })(4+3 \sqrt{ 2 }) $
$ 1(1+\sqrt{ 3 })(2+\sqrt{ 2 }) $

この３つの分子どうしを、分母が $ (1+\sqrt{ 3 })(2+\sqrt{ 2 })(4+3 \sqrt{ 2 }) $ である状況で足し合わせることになるので計算がとても面倒…。

　　　$ \displaystyle { \frac{ 2(2+\sqrt{ 2 })(4+3 \sqrt{ 2 }) }{ (1+\sqrt{ 3 })(2+\sqrt{ 2 })(4+3 \sqrt{ 2 }) } + \frac{ 3(1+\sqrt{ 3 })(4+3 \sqrt{ 2 })}{ (1+\sqrt{ 3 })(2+\sqrt{ 2 })(4+3 \sqrt{ 2 }) } + \frac{ 1(1+\sqrt{ 3 })(2+\sqrt{ 2 }) }{ (1+\sqrt{ 3 })(2+\sqrt{ 2 })(4+3 \sqrt{ 2 }) } } $

この計算を実行するとかなりの時間を食ってしまい、１次検定時間 $ 60 $ 分をかなり浪費してしまいます。

この第４０４回の数学検定は ２０２３年２月１８(土) に実施されたのですが、当時の私はこれをやってしまい時間が足りなくなったことでしょう。

でも今日はちょっと違うアプローチで計算してみました。それは…
始めに分数を有理化してしまうやりかたです。　

３つの分数それぞれの分母を、始めに有理化してから、足し算を行うんですよね。
これに気が付くと、この問題も大した時間を掛けずに解くことが出来ます。

　　　$ \displaystyle { \frac{ 2 }{ 1+\sqrt{ 3 } } = \frac{ 2(1+\sqrt{ 3 }) }{ (1+\sqrt{ 3 })(1-\sqrt{ 3 }) } = - (1- \sqrt{ 3 }) } $

　　　$ \displaystyle { \frac{ 3 }{ 2+\sqrt{ 2 } } = \frac{ 3(2-\sqrt{ 2 }) }{ (2+\sqrt{ 2 })(2-\sqrt{ 2 }) } = \frac{3}{2} (2- \sqrt{ 2 }) } $

　　　$ \displaystyle { \frac{ 1 }{ 4+3 \sqrt{ 2 } } = \frac{ 1(4-3 \sqrt{ 2 }) }{ (4+3 \sqrt{ 2 })(4-3 \sqrt{ 2 }) } = - \frac{1}{2} (4-3 \sqrt{2}) } $

この３つは簡単に足し算できて…

　　　$ \displaystyle { - (1- \sqrt{ 3 }) + \frac{3}{2} (2- \sqrt{ 2 }) + - \frac{1}{2} (4-3 \sqrt{2}) } = \sqrt{3} $

と、答えが出てきます。

「始めに分数を有理化」と言うやり方も有りだと思った次第です。

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。