皆さん こんにちは、時空 解です。

さて、今日は選択問題の問題３にすすみます。


第４２７回 数学検定２級２次　問題３ (選択) 



この問題は
「うわっ！　難しそう…」
と、一目見ただけで怖気づいてしまった問題です…。

ですが、ちょっと落ち着いて…深呼吸。
ふーっ…。

気を取り直して改めて見たところ、"指数表記はただの掛け算" と想うことで我を取り戻しました。

問題の関数 (与式) が教科書では使われないような表記なんで取っつきにくいのですが、$ 2^x = t $ から、簡略化を察することが出来ます。

「$ 2^x $ に統一…できるかな？」
そう考え始めると光が見えてきます。

与えられた関数の先頭の項
　　　　　　　　　　　　　$ \displaystyle {8^{x+\frac{1}{3}} } $

これは、$ 8 = 2^3 $ ですから
　　　　　　　　　　　　　$ \displaystyle {8^{x+\frac{1}{3}} = 2^{3( x + \frac{1}{3}) } } = 2^{3x+1} = 2 \cdot 2^{3x} $
ですよね。

次の項は
　　　　　　　　　　　　　$ -4^{x+2} = -2^{2 \cdot (x+2)} = -2^{2x+4} = -1 \cdot 16 \cdot 2^{2x} $

その次は
　　　　　　　　　　　　　$ -(3 \cdot 2^x - 10)^2 = -1 (9 \cdot 2^{2x} -60 \cdot 2^x + 100) $

最後は簡単で
　　　　　　　　　　　　　$ 2^{x+4} = 16 \cdot 2^x $

です。
これより $ f_{(x)} $ は

　　　$ f_{(x)} = 2 \cdot 2^{3x} -1 \cdot 16 \cdot 2^{2x} -1 (9 \cdot 2^{2x} -60 \cdot 2^x + 100) +16 \cdot 2^x $
　　　　　　$ = 2 \cdot 2^{3x} -16 \cdot 2^{2x} -9 \cdot 2^{2x} +60 \cdot 2^x -100 +16 \cdot 2^x $

整理すると
 $ f_{(x)} = 2 \cdot 2^{3x} -25 \cdot 2^{2x} +76 \cdot 2^x -100 $

　　　$ \therefore 2^x = t $ とすると $ f_{(x)} = 2 t^3 -25 t^2 +76 t -100 $

これが設問 (1) の解答です。
数式を変形して行くと、みるみる馴染みの数式になってゆきます…第一印象がウソのような印象を持った私です。
(まぁそんなことはともかく…)

設問 (2) は $ f_{(x)} = -68 $ ですから
　　　$ 2 t^3 -25 t^2 +76 t -100 = -68 $
　　　つまり
　　　$ 2 t^3 -25 t^2 +76 t -32 = 0 $
　　　を解いて $ t $ を求めれば $ x $ が求められる。
　　　(ここは 関数電卓 fx-JP900 一発で $ t $ を求められます)

　　　$ t = 8,~4,~\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 } $ となるので

　　　 $ t = 2^x $ より
　　　$ x = 3,~2,~-1 $

この問題、…危うく $ t $ を答えとして記述してしまいそうでしたが、今回はそんなボケも何とか回避して正しく記述が出来ました。
危ないところでしたけどね…( ^^;

では今日も休日を始めています。休日の充実こそ、人生の充実です。