皆さん こんにちは、時空 解です。

左側の首の凝り・痛みは今も残るものの、今日はやっと数学の学習をする気に成れました。
なんだかんだ言って２ヶ月以上も滞っていました…いや、まだ滞っている最中かな？ ( ^^;
(まぁそれはともかく)

さて、今年の７月に解いた数列の問題を改めて今日、解きなおしたんですけどね。
そしたら新たな発見がありました。

と言うのは、当時は気が付かなかったのですが、式変形の心得のようなものを…なんです。

それは
・分数は少なくなるようにまとめる

と言うものです。

これって分かり易い例えを挙げるならば、因数分解の時にやる

・変数が複数含む多項式は、次数の少ない変数についてまず整理する

に匹敵するような "心得" みたいだと思ったんです。

７月に勉強した時には
「何だか特殊な変形だなぁ。出来るようになるかなぁ…」
なんて、自信を喪失するのみだったように記憶しているのですが。

でも今日はね…数学を少しは楽しむ気持ちがあったからか
「なるほど、解説にも書いてあるとおり、分数を少なくすると式の見通しが確かに良くなるね」
と気が付いた次第。

そんなことを思った問題は、下記の問題
 
これは一般項が $ a_n = (2n-1)^2 $ ですから
　　　$ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } (2k-1)^2 $
と言う式を立てられますよね。

これはシグマの性質と公式を利用すれば、後は式を整理して行くのみなのですが。

　　　$ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } (2k-1)^2 $
　　　$ = \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } (4k^2 -4k +1) $
　　　$ = \displaystyle 4 \sum_{ k = 1 }^{ n } k^2 -4 \sum_{ k = 1 }^{ n } k + \sum_{ k = 1 }^{ n } 1 $

ここまでは簡単ですよね。でも次が (私に取っては) 難しかった。

　　　$ 4 \left \{ \displaystyle \frac{ 1 }{ 6 } n(n+1)(2n+1) \right \} -4 \left \{ \displaystyle \frac{ 1 }{ 2 } n(n+1) \right \} +n $　　…(a)

この式 (a) の整理を２、３回やり直したのですが、どうしても答とは同じ式に整理出来なかったんです。
ですから
「こりゃ自分じゃ解けないな」
なんて、７月のころは諦めムードだったと記憶してるんです。

ですが今日になって
「分数は少なくなるよう "括り出し" を心掛けるものなんだな」
と、そう想えたんです。

これってなかなかいい気持ちの切り替えですよね。

まぁとにかく分数の "括り出し" をしたら、上記の (a) の式から答にたどり着けた次第。
青チャート式数学の解説のとおり $ \displaystyle \frac{ 1 }{ 3 } n $ で括ればいいので

　　　(a) $ = \displaystyle \frac{ 1 }{ 3 } n \left \{2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3 \right \} $

これが出来れば、後は普通に $ \{　　 \} $ の中を展開して整理するだけです。
そうすると答の
　　　$ \displaystyle \frac{ 1 }{ 3 } n (2n+1)(2n-1) $
にたどり着きます。
 
上記の心得と同じように、
 
この心掛けを今日は基本例題２０から学べました。

では今日はこの辺で