重要例題２８

一般項が $a_n = (-1)^{n+1} ~n^2$ で与えられる数列 $\{a_n \}$ に対して、$S_n = \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k$ とする。

(1) $a_{2k-1} + a_{2k} ~~(k=1,~2,~3, ~……)$ を $k$ を用いて表せ。
(2) $S =$ □ $(n=1,~2,~3,~……)$ と表される。

・答えは右画像

$a_{2k-1} + a_{2k}$　の書き並べ

$n=2m$ の時
　　　$k = 1$、　　　　$k = 2$、　　　　$k = 3$、　　　　　$k = 4$、　 ……　　　 $k = m-3$、　　　　$k = m-2$、　　　　　　$k = m-1$、　　　　　$k = m$
$(a_{2 \cdot 1 -1} + a_{2 \cdot 1})$、 $(a_{2 \cdot 2 -1} + a_{2 \cdot 2})$、$(a_{2 \cdot 3 -1} + a_{2 \cdot 3})$、$(a_{2 \cdot 4 -1} + a_{2 \cdot 4})$、…… $(a_{2(m-3)-1} + a_{2(m-3)})$、$(a_{2(m-2) -1} + a_{2(m-2)})$、$(a_{2(m-1) -1} + a_{2(m-1)})$、$(a_{2m -1} + a_{2m})$
　$(1 +(-4))$、　$(9 +(-16))$、　$(25 +(-36))$、 $(49 +(-64))$、 …… $(a_{2(m-3)-1} + a_{2(m-3)})$、$(a_{2(m-2) -1} + a_{2(m-2)})$、$(a_{2(m-1) -1} + a_{2(m-1)})$、$(a_{2m -1} + a_{2m})$
　　　$-3$、　　　　$-7$、 　　　　　$-11$、　　　　　$-15$、　　　　……　　 $1-4(m-3)$、　　　　$1-4(m-2)$、　　　　　$1-4(m-1)$、　　　$1-4m$

$n=2m-1$ の時
　　　$k = 1$、　　　　$k = 2$、　　　　$k = 3$、　　　　　$k = 4$、　 ……　　　 $k = m-3$、　　　　$k = m-2$、　　　　　　$k = m-1$、　　　　　$\textcolor{green}{k = m}$
$(a_{2 \cdot 1 -1} + a_{2 \cdot 1})$、 $(a_{2 \cdot 2 -1} + a_{2 \cdot 2})$、$(a_{2 \cdot 3 -1} + a_{2 \cdot 3})$、$(a_{2 \cdot 4 -1} + a_{2 \cdot 4})$、…… $(a_{2(m-3)-1} + a_{2(m-3)})$、$(a_{2(m-2) -1} + a_{2(m-2)})$、$(a_{2(m-1) -1} + a_{2(m-1)})$、$(a_{2m -1} \textcolor{red}{ \cancel{+ a_{2m}}})$
　$(1 +(-4))$、　$(9 +(-16))$、　$(25 +(-36))$、 $(49 +(-64))$、 …… $(a_{2(m-3)-1} + a_{2(m-3)})$、$(a_{2(m-2) -1} + a_{2(m-2)})$、$(a_{2(m-1) -1} + a_{2(m-1)})$、$(a_{2m -1}  \textcolor{red}{\cancel{+ a_{2m}}})$
　　　$-3$、　　　　$-7$、 　　　　　$-11$、　　　　　$-15$、　　　　……　　 $1-4(m-3)$、　　　　$1-4(m-2)$、　　　　　$1-4(m-1)$、　$(1-4m) \textcolor{green}{- a_{2m}}$