皆さん こんにちは、時空 解です。

今日は下記の問題に取り組んでいました。


この問題。今年の始め１月４日に、設問 (1) で悩んだんですが…(理由は計算ミス)、今日は設問 (２) で悩んでました。
「設問 (2) は $ S_n = \displaystyle \frac{ 1 }{ 2 } n(a_1 +a_n) $ の考え方でも解けるはずだ」
と考えてね。

でも初めにやってみた、自分の出した答と解答の答が (案の定) 違っていましてね。( ^^;

どうして違って来るのか、その理由に気が付くのに時間が掛かりました。

でも何のことはない。分かって仕舞えば簡単なことでした。
足し合わせる項の数が $ \displaystyle \frac{ 1 }{ 2 } n $ じゃありませんからね。

足し合わせる項は奇数番の $ a_n $ な訳で、これを $ m $ とおくと
　　　$ m = 2n - 1 $
だから
　　　$ n = \displaystyle \frac{ m+1 }{ 2 } $
なんですよね。

と言うことで $ S_n = \displaystyle \frac{ 1 }{ 2 } n(a_1 +a_n) $ に代入すると
　　　 $ S_m = \displaystyle \frac{ 1 }{ 2 } \frac{ m+1 }{ 2 } (a_1 +a_m) $
　　　 $ S_m = \displaystyle \frac{ m+1 }{ 4 } (1 + \textcolor{green}{4(2n-1)-3} ) $　　　( $ a_m = a_{2n-1} = \textcolor{green}{4(2n-1)-3} $ )
　　　　　　ここで $ m=\textcolor{blue}{ 2n-1}  $ なので
　　　 $ S_{2n-1} = \displaystyle \frac{ \textcolor{blue}{ 2n-1} +1 }{ 4 } (1 +\textcolor{green}{4(2n-1)-3} ) $
　　　 $ S_{2n-1} = \displaystyle \frac{ n }{ 2 } ( 8n-6 ) $
　　　　　 $ \therefore S_{2n-1} = n(4n-3) $

グリーンの部分とブルーの部分がなかなか分からなかったですが、なんとか分かりました。
解けるとやっぱり面白いですよね。

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。