設問 (1) 解答
求める値を $ x $ として、設問 (1) の問題文より２つの式を立てる。
ただし $ a,~b $ は整数
\begin{eqnarray}
  \left\{
    \begin{array}{l}
      x -440 = 7a　(A) \\
      x -7 = 440b　(B) \\
     (x \geqq 2025)
    \end{array}
  \right.
\end{eqnarray}
(A) 式は「$ 440 $ との差が $ 7 $ の倍数」である $ x $ を $ a $ で表した式
(B) 式は「$ 7 $ との差が $ 440 $ の倍数」である $ x $ を $ b $ で表した式

この (A) と (B) を使って、$ a $ と $ b $ の関係式を導く
　　　$ 7a +440 = 440b +7 $

　　　左辺の $ 440 $ と右辺の $ 7 $ をそれぞれ移行する
　　　$ 7a -7 = 440b -440 $　この式を変形すると
　　　$ 7(a-1) = 440(b-1) $

　　　$ 7 $ と $ 440 $ は互いに素なので
\begin{eqnarray}
  \left\{
    \begin{array}{l}
      (a-1) = 440k　(K1) \\
      (b-1) = 7k　(K2)
    \end{array}
  \right.
\end{eqnarray}　　　とできる。ただし $ k $ は整数

(K1)、(k2) の式より $ a $ と $ b $ の候補が手に入るので、$ x \geqq 2025 $ に見合う $ x $ を探る
　　　$ k = 1 $ の時
　　　$ a = 441,~b = 8 $ を得る。

　　　(A)、(B) を使って $ x $ を求めると両式から共に
　　　$ x = 3527 $
　　　を得る。

また $ 3527 $ は $ 2025 $ 以上の数であり、かつ $ 3527 - 2025 = 1502 $ で $ 7 $ と $ 440 $ の最小公倍数 $ 3080 $ よりも小さい。

以上のことから設問 (1) の答は $ 3527 $