設問 (2) 解答

求める値を $ x $ として、設問 (2) の問題文より２つの式を立てる。
ただし $ a,~b $ は整数
\begin{eqnarray}
  \left\{
    \begin{array}{l}
      x -2025 = 4a　(A) \\
      x +4 = 2025b　(B) \\
     (x \leqq 440)
    \end{array}
  \right.
\end{eqnarray}
(A) 式は「$ 2025 $ との差が $ 4 $ の倍数」である $ x $ を $ a $ で表した式
(B) 式は「$ 4 $ との和が $ 2025 $ の倍数」である $ x $ を $ b $ で表した式

この (A) と (B) を使って、$ a $ と $ b $ の関係式を導く
　　　$ 4a +2025 = 2025b -4 $

　　　左辺の $ 2025 $ と右辺の $ -4 $ をそれぞれ移行する
　　　$ 4a +4 = 2025b -2025 $　この式を変形すると
　　　$ 4(a+1) = 2025(b-1) $

　　　$ 4 $ と $ 2025 $ は互いに素なので
\begin{eqnarray}
  \left\{
    \begin{array}{l}
      (a+1) = 2025k　(K1) \\
      (b-1) = 4k　(k2)
    \end{array}
  \right.
\end{eqnarray}　　　とできる。ただし $ k $ は整数

(K1)、(k2) の式より $ a $ と $ b $ の候補が手に入るので、$ x \leqq 440 $ に見合う $ x $ を探る
　　　$ k = 1 $ の時
　　　$ a = 2024,~b = 5 $ を得るが、これから (A)、(B) を使って $ x $ を求めると両式から共に
　　　$ x = 10121 $
　　　となり、これは $ x \leqq 440 $ に適さない。

　　　$ k = 0 $ の時
　　　$ a = -1,~b = 1 $ を得るが、これから (A)、(B) を使って $ x $ を求めると両式から共に
　　　$ x = 2021 $
　　　となり、これも $ x \leqq 440 $ に適さない。

　　　$ k = -1 $ の時
　　　$ a = -2026,~b = -3 $ を得るが、これから (A)、(B) を使って $ x $ を求めると両式から共に
　　　$ x = -6079 $
　　　を得る。これは $ x \leqq 440 $ に適合し、最大値と考えられる。

以上のことから設問 (2) の答は $ -6079 $