皆さん こんにちは、時空 解です。

今日は一昨日の続きです。

まず重要例題３２ (右画像参照) と練習問題３２ (下記) を提示しておきましょう。
 

さて、今日は上記２つの問題から、それぞれ設問 (2) を取り上げてみます。
取り上げるに当たって、始めに両方の問題をグラフ化しておきましょう。

重要例題３２　設問 (2) のグラフ


練習問題３２　設問 (2) のグラフ



格子点問題を解くカギは、やっぱり
・グラフ化をしてみて、格子点の数を数えてみる
と言うのが第一歩になるでしょう。

格子の点の数は $ x $ 軸、$ y $ 軸のどちらに沿って数えると整数的 (領域の両端に格子点が有る) に変化しているでしょうか？
グラフ化してみるとそれが見えてきますよね。

今回、両方とも $ x= 1,~2,~3,~4,~ \dotsm $ として見て行くと格子点の数がちゃんと領域に収まっています。

重要例題３２　設問 (2) の場合、$ n = 4 $ のグラフについて格子点の数を見てみると
　　　　　格子の数
$ x = 0 $ → $ 16 - ~0 + 1 $
$ x = 1 $ → $ 16 - ~1 + 1 $
$ x = 2 $ → $ 16 - ~4 + 1 $
$ x = 3 $ → $ 16 - ~9 + 1 $
$ x = 4 $ → $ 16 - 16 + 1 $

と書くことが出来ます。
上記のように格子の数を書き出すためには、
　　　・$ 16 $ が $ n $ に対応して、引く数は変数 $ y = k $ と見なす
と言うことです。

まぁここが慣れないと難しいのですけどね。( ^^;

慣れるためにはたくさんの問題を解くしかありません。
練習問題３２についても見てみましょう。

こちらはちょっと複雑になります。なんと言っても双曲線が２本になりますから、グラフをよく見る必要がありますよね。
( $ y $ 軸の目盛りが $ 2 $ 飛びになっていることに注意 )

重要例題同様、練習問題３２　設問 (2) についても、$ n = 4 $ のグラフについて格子点の数を見てみると
　　　　　格子の数
$ x = 0 $ → $ 0 - ~0 + 1 $
$ x = 1 $ → $ 2 - ~1 + 1 $
$ x = 2 $ → $ 8 - ~4 + 1 $
$ x = 3 $ → $ 18 - ~9 + 1 $
$ x = 4 $ → $ 32 - 16 + 1 $

と書くことが出来ます。
でも、もう少し数式を書くために分かり易くすると

　　　　　格子の数
$ x = 0 $ → $ 0 - ~0 + 1 $
$ x = 1 $ → $ 2 \cdot 1 - ~1 + 1 $
$ x = 2 $ → $ 2 \cdot 4 - ~4 + 1 $
$ x = 3 $ → $ 2 \cdot 9 - ~9 + 1 $
$ x = 4 $ → $ 2 \cdot 16 - 16 + 1 $

と出来ますよね。

これで両方のシグマ計算用の式を書く準備が出来ました。

・重要例題３２　設問 (2) 
　　　$ n^2 -k^2 +1 $

・練習問題３２　設問 (2) 
　　　$ 2k^2 -k^2 +1 $
　　　　$ = k^2 +1 $

これで両方の問題の計算式を立てることができます。

・重要例題３２　設問 (2) 
　　　　　　　　　　　　　$ k =0 $　　　$ k =1,~2,~3,~4, \dotsm $
　　　$ \displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n }(n^2 -k^2 +1) = (n^2 +1) + \sum_{ k = 1 }^{ n }(n^2 -k^2 +1) $
　　　　　　　　　　　$ = (n^2 +1) + \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }(n^2 -k^2 +1) $
　　　　　　　　　　　$ = (n^2 +1) + \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }(n^2 +1) - \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2 $
　　　　　　　　　　　$ = (n^2 +1) + n(n^2 +1) - \displaystyle \frac{ 1 }{ 6 } n(n +1)(2n +1) $
　　　　　　　　　　整理すると
　　　　　　　　　　　$ \displaystyle \frac{ 1 }{ 6 }(n +1)(4n^2 -n +6) $

・練習問題３２　設問 (2) 
　　　　　　　　　$ k =0 $　$ k =1,~2,~3,~4 , \dotsm $
　　　$ \displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n }(k^2 +1) = 1 + \sum_{ k = 1 }^{ n }(k^2 +1) $
　　　　　　　　　$ = 1 + \displaystyle \frac{ 1 }{ 6 } n(n +1)(2n +1) $
　　　　　　　　整理すると
　　　　　　　　　$ \displaystyle \frac{ 1 }{ 6 }(n +1)(2n^2 +n +1) $

練習問題２３の答も右画像に示しておきます。

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
(休日は充実した日々によって輝きますよね)