皆さん こんにちは、時空 解です。

今日の朝、改めて特性方程式を利用して解く問題を復習していました。

「青チャート式数学Ｂ」第１章４節　漸化式と数列　基本例題３４
(右画像参照)

特性方程式について振り返って見ると、過去数年に渡りブログ記事のネタになっています。

それだけ自分の中ではクエスチョンマークが頭に浮かんでいて、苦労してるんですよね。( ^^;

そんな中、当時を振り返るためにブログを読み直していたら、検討の甘かったものが見つかりました。

それが下記のブログ記事。
・$ a_{n+1} = p \cdot a_n + q $ 型の漸化式の一般項を求める方法…どうして $ -c $ を使うの？

上記のブログ記事では特性方程式を使って求めるための変数に $ c $ を使っていますが、その符号について検討が甘かったです。


・特性方程式を導くための元ネタ (白チャート「新課程 チャート式 基礎と演習 数学 II+B」の P426 より)


上記の特性方程式のレクチャーを６年前に検討している訳ですが…検討が中途半端ですね。( ^^;
・数列の漸化式のところまで学習して来て、過去の自分を顧みる

まぁとにかく、今は上記のレクチャーを見て、
「どうして $ -c $ を使うの？」
なんて言う疑問は持たなくなりました。

$ +c $ としようが $ -c $ としようが、結果としては両方とも $ a_{n+1} = p \cdot a_n + q $ 型の漸化式を、$ b_{n+1} = pb_n $ と言う等比数列に変換するための $ c $ を正しく導くことが出来ます。
　　　☆ $ a_n + c = b_n $

$ -c $ としてやると特性方程式が $ a_{n+1} = p \cdot a_n + q $ の型を受け継いだ型 $ c = p c + q $ になる、と言うことです。
$ +c $ としてやるとこれが $ c = p c - q $ となってしまい、$ q $ の対応が崩れ、もとの漸化式の型を受けづが無いだけです。

上記の２つの式は $ c $ に付いて整理すると
　　　 $ c = p c + q  \Leftrightarrow c = \displaystyle \frac{ q }{ p - 1 } $
 　　　$ c = p c - q  \Leftrightarrow c = \displaystyle \frac{ q }{ 1 - p } $

となり、$ c $ の値は前提とする $ -c $ 、$ +c $ と対応します。

どちらにせよ、結果的には $ a_{n+1} = p \cdot a_n + q $ の型の漸化式を、 $ b_{n+1} = p ( \cdot b_n ) $ の型、等比数列に変えるための $ c $ は求めることができます。

今日は６年前 (２０１９年６月２９日) のブログ記事の追加報告でした。
６年経ってやっと、このレクチャーの内容が腑に落ちました。　お恥ずかしい… m( _ _;)m

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
(休日は充実した日々によって輝きますよね)