皆さん こんにちは、時空 解です。

今日は理解するのを後回してしていたことを思い出しました。不等式についてです。

それは
・不等式どうしを引き算してはいけないのは何故か？
です。

朝に復習として「青チャート式数学I　第１章：数と式、第４節：１次不等式」の基本例題３３をやっていたんですよね。
 

自分でも驚きましたが、どう考えていいやら全く分からず…始めは頭が真っ白でした。

しばらくして、設問の (1) は何とか分かってきましたが、設問 (2) に付いてはね…本当にお手上げ。( ^^;
一応自分なりに答は出してみたものの、予想通り間違った答でした。＿|￣|○

この設問 (2) に対して正しい解答をするためにも、先に上げた

・不等式どうしを引き算してはいけないのは何故か？

その理由をちゃんと理解しなければなりませんでした。
青チャート式数学の解説動画にも、この理由には触れておらずただ単に
「引き算をする、各辺を引くと言うのは上手く行かないんです。(中略) 基本の考えとして各辺で足し算する」
と、コメントを付けているのみです。

ここを深堀すると、ちょっと解説が長くなってしまうからでしょうね。

と言うことで、自分なりに納得するためには、シンプル問題に置き換えてかんがえてみることでしょう。

こんな問題について考えてみました。
 
この問題…昨日までの私の頭では、下記のような答になってしまいます。
「$ x -y $ なんだから、まず最小値は $ 1 -4 $ で $ -3 $ 。最大値は $ 2 -7 $ で $ -5 $」

つまり答は $ -3 \lt x -y \lt -7 $

これは不等号の向きからしておかしいですよね。＿|￣|○
じゃあ不等式の向きを変えれば OK かと申しますと…これも違います。

どうしてこうなっちゃうのかを考えるためには、私は下記のように数直線を描いてみた次第です。



これを眺めながらやっと腑に落ちるようになりました。
$ x -y $ について、この値の最小値が左側、そして最大値が右側にくればいいんですよね。

言いたいことは、下記の式で伝わりますかな？

　　　最小値 $ \lt x -y \lt $ 最大値

この最小値と最大値を求めるためには、どうしたらいいでしょうか？
そう考えると見えてきますよね。

まず最小値は、$ x $ が取りうる範囲の最小値から $ y $ が取りうる範囲の最大値を引けば出てきますよね。
　　　$ 1 -7 = -6 $

つぎに最大値は、$ x $ が取りうる範囲の最大値から $ y $ が取りうる範囲の最小値を引けば出てきます。
　　　$ 2 -4 = -2 $

つまり答は $ -6 \lt x -y \lt -2 $

さて、こうしてみると

・最小値を計算するのに、$ x,~y $ の最小値と最大値。
・最大値を計算するのに、、$ x,~y $ の最大値と最小値。

と言った具合にややこしい思考が必要になります。

それを解消するには、青チャート式数学の解説動画でコメントしているように、
「各辺で足し算できるような形にして計算する」
なんですよね。

$ y $ の方の範囲を各辺で足し算できるようにするためには、$ -1 $ を範囲指定の式に掛けてやればいいですよね。
　　　$ -7 \lt -y \lt -4 $

こうしてやれば、$ x -y $ の範囲は、

　　　　　　　$ ~1 \lt ~~x \lt ~2 $
　　　$~+　 -7 \lt -y \lt -4 $
　　　-----------------------
　　　　　　$ -6 \lt x -y \lt -2 $

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
(休日は充実した日々によって輝きますよね)