時空 解 さんの日記
2025
7月
30
(水)
19:14
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皆さん こんにちは、時空 解です。
今回の問題１は難しかったです。
昨日の夜１０時頃にやっと解法が見えて次第でした。
この問題１に出てくる下記の２つの制約。
$ f{(x)} \gt g{(x)} $
$ (x_1,~x_2) $ が実数の組
この解釈が分かりませんでした。
検定中には分かりませんでしたので、自分なりに答は出したのですが…。
今日になってハッキリしました。
この問題、私は不正解ですね。＿|￣|○
まずは $ f{(x)} \gt g{(x)} $ の条件をどう考えたかと申しますと、
「 $ f{(x)} $ の最小値が $ g{(x)} $ の最大値よりも大きいと言うことだな」
としたんです。
これは大間違い！
でも設問 (1) の答には、私の勘違いは影響しないのが幸いでした。下記の解答で大丈夫だと思います。
難しいのは設問 (2) ですよね。
「すべての実数の組 $ (x_1,~x_2) $ に対して $ f{(x)} \gt g{(x)} $ が成り立つ」
上記の条件をどう考えたらいいのか、下記の問題１の与式をグラフ化して検証してみました。
$ f{(x)} = 2x^2 -a \cdot x +32 $
$ g{(x)} = -x^2 +8x +a $
(検証には Casioさんが提供する ClassPad.net の ClassPad Math を使っています)
上記のグラフを見て頂けると設問 (2) の題意が分かります。
(と言うか…２次方程式のグラフに付いて私が認識不足だからですが)
「すべての実数の組 $ (x_1,~x_2) $ に対して $ f{(x)} \gt g{(x)} $ が成り立つ」
をどう解釈すればいいのかと申しますと…
$ f{(x)} = g{(x)} $ の判別式 $ D $ が $ D \lt 0 $ であればいいのですよね？
と言うのも、一般的に２次方程式 $ ax^2 +bx +c = 0 $ の解が実数解を持つと言うのは $ D \geqq 0 $ で、これはグラフ上では
$ ax^2 +bx +c $ のグラフが $ x $ 軸と交わる、もしくは接する (重解)
と言うことですよね。
つまり $ x $ 軸から離れていると虚数解を持つ。
$ f{(x)} \gt g{(x)} $ と言うのは、言い換えれば
$ f{(x)} $ が $ g{(x)} $ と交わらない。$ f{(x)} $ が $ g{(x)} $ から離れている。
と言うことです。
これより
これで正しいと思いますけどね…気になるは答えがあまりスッキリとした数値ではない点です。
うーむ…( ^^;
まぁ後は模範解答が発表されるまでのお楽しみですね…
では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
(休日は充実した日々によって輝きますよね)
今回の問題１は難しかったです。
昨日の夜１０時頃にやっと解法が見えて次第でした。
第４４４回数学検定２級２次 問題１ (選択)
$ a $ を実数の定数とします。関数
$ f{(x)} = 2x^2 -ax +32 $
について、次の問いに答えなさい。
(1) $ f{(x)} $ の最小値およびそのときの $ x $ の値をそれぞれ $ a $ を用いて表しなさい。
(2) $ g{(x)} = -x^2 +8x +a $ とします。すべての実数の組 $ (x_1,~x_2) $ に対して、$ f{(x)} \gt g{(x)} $
が成り立つとき、$ a $ のとり得る値の範囲を求めなさい。
$ a $ を実数の定数とします。関数
$ f{(x)} = 2x^2 -ax +32 $
について、次の問いに答えなさい。
(1) $ f{(x)} $ の最小値およびそのときの $ x $ の値をそれぞれ $ a $ を用いて表しなさい。
(2) $ g{(x)} = -x^2 +8x +a $ とします。すべての実数の組 $ (x_1,~x_2) $ に対して、$ f{(x)} \gt g{(x)} $
が成り立つとき、$ a $ のとり得る値の範囲を求めなさい。
この問題１に出てくる下記の２つの制約。
$ f{(x)} \gt g{(x)} $
$ (x_1,~x_2) $ が実数の組
この解釈が分かりませんでした。
検定中には分かりませんでしたので、自分なりに答は出したのですが…。
今日になってハッキリしました。
この問題、私は不正解ですね。＿|￣|○
まずは $ f{(x)} \gt g{(x)} $ の条件をどう考えたかと申しますと、
「 $ f{(x)} $ の最小値が $ g{(x)} $ の最大値よりも大きいと言うことだな」
としたんです。
これは大間違い！
でも設問 (1) の答には、私の勘違いは影響しないのが幸いでした。下記の解答で大丈夫だと思います。
設問 (1) の私なりの解答
$ f{(x)} = 2x^2 -ax +32 $ の極小値のおける $ x $ は $ f'{(x)} = 4x -a = 0 $ より $ x = \displaystyle \frac{ a }{ 4 } $
極小値は $ f{(\displaystyle \frac{a}{4})} = - \displaystyle \frac{1}{4} a^2 +32 $
$ \underline { Ans: x = \displaystyle \frac{ a }{ 4 }, f{(\frac{a}{4})} = - \frac{1}{4} a^2 +32 } $
$ f{(x)} = 2x^2 -ax +32 $ の極小値のおける $ x $ は $ f'{(x)} = 4x -a = 0 $ より $ x = \displaystyle \frac{ a }{ 4 } $
極小値は $ f{(\displaystyle \frac{a}{4})} = - \displaystyle \frac{1}{4} a^2 +32 $
$ \underline { Ans: x = \displaystyle \frac{ a }{ 4 }, f{(\frac{a}{4})} = - \frac{1}{4} a^2 +32 } $
難しいのは設問 (2) ですよね。
「すべての実数の組 $ (x_1,~x_2) $ に対して $ f{(x)} \gt g{(x)} $ が成り立つ」
上記の条件をどう考えたらいいのか、下記の問題１の与式をグラフ化して検証してみました。
$ f{(x)} = 2x^2 -a \cdot x +32 $
$ g{(x)} = -x^2 +8x +a $
(検証には Casioさんが提供する ClassPad.net の ClassPad Math を使っています)
上記のグラフを見て頂けると設問 (2) の題意が分かります。
(と言うか…２次方程式のグラフに付いて私が認識不足だからですが)
「すべての実数の組 $ (x_1,~x_2) $ に対して $ f{(x)} \gt g{(x)} $ が成り立つ」
をどう解釈すればいいのかと申しますと…
$ f{(x)} = g{(x)} $ の判別式 $ D $ が $ D \lt 0 $ であればいいのですよね？
と言うのも、一般的に２次方程式 $ ax^2 +bx +c = 0 $ の解が実数解を持つと言うのは $ D \geqq 0 $ で、これはグラフ上では
$ ax^2 +bx +c $ のグラフが $ x $ 軸と交わる、もしくは接する (重解)
と言うことですよね。
つまり $ x $ 軸から離れていると虚数解を持つ。
$ f{(x)} \gt g{(x)} $ と言うのは、言い換えれば
$ f{(x)} $ が $ g{(x)} $ と交わらない。$ f{(x)} $ が $ g{(x)} $ から離れている。
と言うことです。
これより
設問 (2) の私なりの解答
$ f{(x)} = g{(x)} $
$ 2x^2 -a \cdot x +32 = -x^2 +8x +a $
$ 3x^2 -(a +8)x +32 -a = 0 $
上式の判別式 $ D = (a +8)^2 -12(32 -a) \lt 0 $ より $ a $ の範囲が求められる。
$ -14 -2 \sqrt{ 129 } \lt a \lt -14 +2 \sqrt{ 129 } $
$ \underline { Ans: -14 -2 \sqrt{ 129 } \lt a \lt -14 +2 \sqrt{ 129 } } $
$ f{(x)} = g{(x)} $
$ 2x^2 -a \cdot x +32 = -x^2 +8x +a $
$ 3x^2 -(a +8)x +32 -a = 0 $
上式の判別式 $ D = (a +8)^2 -12(32 -a) \lt 0 $ より $ a $ の範囲が求められる。
$ -14 -2 \sqrt{ 129 } \lt a \lt -14 +2 \sqrt{ 129 } $
$ \underline { Ans: -14 -2 \sqrt{ 129 } \lt a \lt -14 +2 \sqrt{ 129 } } $
これで正しいと思いますけどね…気になるは答えがあまりスッキリとした数値ではない点です。
うーむ…( ^^;
まぁ後は模範解答が発表されるまでのお楽しみですね…
では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
(休日は充実した日々によって輝きますよね)
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