時空 解 さんの日記
2025
8月
5
(火)
11:53
前の日記
本文
皆さん こんにちは、時空 解です。
私が高校生の頃は、統計技術の問題などはあまり見掛けませんでした。
(私の勘違いかな？ ( ^^; )
でも最近はよく見掛けます、統計技術の問題。
最近では第４２７回の数学検定２級２次のときに出題されました。
・第４２７回 数学検定２級２次 問題４、５ (選択) について…諦めます
それに第４１２回数学検定では２級１次の問題としても登場しています。
・今日やっと腑に落ちた「確率変数と確率分布」の期待値 (X の平均 E(X) )
こうして振り返ると、今回の問題４は解けないといけない問題でしたね。
問題文から確率分布表が作れれば、後は公式に当てはめて計算するだけです。
でも検定当日は、公式を明確に思い出せなくてパスした私でした。残念です…＿|￣|○
改めて今回の問題４をみて行きましょう。
問題文より、確率分布表は下記のようになると思います。(確率は $ P $ としています)
確率変数 $ Z $ $ 1 $ $ 2 $ $ 3 $ $ 4 $ $ 5 $
確率 $ P $ $ \displaystyle \frac{5}{15} $ $ \displaystyle \frac{4}{15} $ $ \displaystyle \frac{3}{15} $ $ \displaystyle \frac{2}{15} $ $ \displaystyle \frac{1}{15} $
問題文から、２枚取り出すカードの組み合わせはわかりますよね。
６枚のカードから同時に２枚取り出すのだから、全部の組み合わせは $ {}_6 \mathrm{ C }_2 = 15 $
この $ 15 $ の組み合わせのうち $ Z = X -Y $ の値が $ 1 $ になるのは
$ 【1】-【0】$、$【2】-【1】$、$ 【3】-【2】$、$ 【4】-【3】$、$ 【5】-【4】$ の５つです。
従って $ Z = X -Y $ の値が $ 1 $ になる確率は $ \displaystyle \frac{5}{15} $
同じように $ Z $ が $ 2 $ から $ 5 $ までの確率も計算でき、先の確率分布表が書けます。
これより設問 (1),(2) に解答できるようになりました。
これで合っていると思いますけどね…計算量が多いので計算ミスしてないかが不安です… ( ^^;
どのみち検定当日は、この問題はパスでしたから $ 0 $ 点です…
では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
(休日は充実した日々によって輝きますよね)
私が高校生の頃は、統計技術の問題などはあまり見掛けませんでした。
(私の勘違いかな？ ( ^^; )
でも最近はよく見掛けます、統計技術の問題。
最近では第４２７回の数学検定２級２次のときに出題されました。
・第４２７回 数学検定２級２次 問題４、５ (選択) について…諦めます
それに第４１２回数学検定では２級１次の問題としても登場しています。
・今日やっと腑に落ちた「確率変数と確率分布」の期待値 (X の平均 E(X) )
こうして振り返ると、今回の問題４は解けないといけない問題でしたね。
問題文から確率分布表が作れれば、後は公式に当てはめて計算するだけです。
でも検定当日は、公式を明確に思い出せなくてパスした私でした。残念です…＿|￣|○
改めて今回の問題４をみて行きましょう。
第４４４回数学検定２級２次 問題４ (選択)
【0】、【1】、【2】、【3】、【4】【5】の６枚のカードがあります。
この中から無作為に選んだ２枚を同時に取り出し、取り出した２枚のカードに書かれた数のうち、大きいほうの数を $ X $、小さいほうの数を $ Y $ とします。
確率変数 $ Z = X -Y $ について、次の問いに答えなさい。
(1) $ Z $ の平均 $ E(Z) $ を求めなさい。
(2) $ Z $ の分散 $ V(Z) $ を求めなさい。
【0】、【1】、【2】、【3】、【4】【5】の６枚のカードがあります。
この中から無作為に選んだ２枚を同時に取り出し、取り出した２枚のカードに書かれた数のうち、大きいほうの数を $ X $、小さいほうの数を $ Y $ とします。
確率変数 $ Z = X -Y $ について、次の問いに答えなさい。
(1) $ Z $ の平均 $ E(Z) $ を求めなさい。
(2) $ Z $ の分散 $ V(Z) $ を求めなさい。
問題文より、確率分布表は下記のようになると思います。(確率は $ P $ としています)
確率変数 $ Z $ $ 1 $ $ 2 $ $ 3 $ $ 4 $ $ 5 $
確率 $ P $ $ \displaystyle \frac{5}{15} $ $ \displaystyle \frac{4}{15} $ $ \displaystyle \frac{3}{15} $ $ \displaystyle \frac{2}{15} $ $ \displaystyle \frac{1}{15} $
問題文から、２枚取り出すカードの組み合わせはわかりますよね。
６枚のカードから同時に２枚取り出すのだから、全部の組み合わせは $ {}_6 \mathrm{ C }_2 = 15 $
この $ 15 $ の組み合わせのうち $ Z = X -Y $ の値が $ 1 $ になるのは
$ 【1】-【0】$、$【2】-【1】$、$ 【3】-【2】$、$ 【4】-【3】$、$ 【5】-【4】$ の５つです。
従って $ Z = X -Y $ の値が $ 1 $ になる確率は $ \displaystyle \frac{5}{15} $
同じように $ Z $ が $ 2 $ から $ 5 $ までの確率も計算でき、先の確率分布表が書けます。
これより設問 (1),(2) に解答できるようになりました。
設問 (1) の私なりの解答
カード全ての取り出し方は $ {}_6 \mathrm{ C }_2 = 15 $
この内 $ Z = 1 $ となるのは、２枚のカードが連続した数字の場合。
同じように $ Z = 2 $ となるのは、２枚のカードの差が２の場合。
$ Z = 3,~4,~5 $ の場合も同様であり、確率を $ P $ として確率分布表を作ることができる。
確率変数 $ Z $ $ 1 $ $ 2 $ $ 3 $ $ 4 $ $ 5 $
確率 $ P $ $ \displaystyle \frac{5}{15} $ $ \displaystyle \frac{4}{15} $ $ \displaystyle \frac{3}{15} $ $ \displaystyle \frac{2}{15} $ $ \displaystyle \frac{1}{15} $
平均 $ E(Z) $ は定義により
$ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ 5 } Z_k \cdot P_k = \frac{7}{3} $
$ \underline { Ans: E(Z) = \displaystyle \frac{7}{3} } $
カード全ての取り出し方は $ {}_6 \mathrm{ C }_2 = 15 $
この内 $ Z = 1 $ となるのは、２枚のカードが連続した数字の場合。
同じように $ Z = 2 $ となるのは、２枚のカードの差が２の場合。
$ Z = 3,~4,~5 $ の場合も同様であり、確率を $ P $ として確率分布表を作ることができる。
確率変数 $ Z $ $ 1 $ $ 2 $ $ 3 $ $ 4 $ $ 5 $
確率 $ P $ $ \displaystyle \frac{5}{15} $ $ \displaystyle \frac{4}{15} $ $ \displaystyle \frac{3}{15} $ $ \displaystyle \frac{2}{15} $ $ \displaystyle \frac{1}{15} $
平均 $ E(Z) $ は定義により
$ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ 5 } Z_k \cdot P_k = \frac{7}{3} $
$ \underline { Ans: E(Z) = \displaystyle \frac{7}{3} } $
設問 (2) の私なりの解答
設問 (1) より $ E(Z) = \displaystyle \frac{7}{3} $ を $ m $ とすると
分散 $ V(Z) $ は定義により
$ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ 5 } (Z_k -m)^2 \cdot P_k = \frac{14}{9} $
$ \underline { Ans: V(Z) = \displaystyle \frac{14}{9} } $
設問 (1) より $ E(Z) = \displaystyle \frac{7}{3} $ を $ m $ とすると
分散 $ V(Z) $ は定義により
$ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ 5 } (Z_k -m)^2 \cdot P_k = \frac{14}{9} $
$ \underline { Ans: V(Z) = \displaystyle \frac{14}{9} } $
これで合っていると思いますけどね…計算量が多いので計算ミスしてないかが不安です… ( ^^;
どのみち検定当日は、この問題はパスでしたから $ 0 $ 点です…
では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
(休日は充実した日々によって輝きますよね)
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