時空 解 さんの日記
2026
1月
18
(日)
09:44
前の日記
本文
皆さん こんにちは、時空 解です。
昨日と今日「青チャート式数学Ｂ 第１章 数列 第６節：数学的帰納法」の基本例題５７を学習していました。
この問題の解答と解説動画…両方とも分かりにくかったです。( ^^;
解答では $ n =k $ における
$ 3^{k-1} \gt k^2 -k +2 $
の式は明記してあるものの $ n = k+1 $ における
$ 3^{k+1-1} \gt (k+1)^2 -(k+1) +2 $
→ $ 3^k \gt k^2 +k +2 $
の式が明記されていません。
$ 3^{k+1-1} \gt (k+1)^2 -(k+1) +2 $ は成立するか否か分かっていませんので、確かに書いてしまうとおかしな話しになりますが…。
でも
そこから式を変形して $ \textcolor{blue}{3^{k-1} \gt k^2 -k +2} $ が成立することを仮定しているものを利用するほうが良いでしょうよねぇ…。
これのほうが分かり易いとおもいますけどね…。
では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
(休日は充実した日々によって輝きますよね)
昨日と今日「青チャート式数学Ｂ 第１章 数列 第６節：数学的帰納法」の基本例題５７を学習していました。
この問題の解答と解説動画…両方とも分かりにくかったです。( ^^;
「青チャート式数学Ｂ 第１章 数列 第６節：数学的帰納法」 基本例題５７
$ 3 $ 以上のすべての自然数 $ n $ について、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
$ 3^{n-1} \gt n^2 -n +2 $ …(1)
解説動画はこちら
$ 3 $ 以上のすべての自然数 $ n $ について、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
$ 3^{n-1} \gt n^2 -n +2 $ …(1)
解説動画はこちら
解答では $ n =k $ における
$ 3^{k-1} \gt k^2 -k +2 $
の式は明記してあるものの $ n = k+1 $ における
$ 3^{k+1-1} \gt (k+1)^2 -(k+1) +2 $
→ $ 3^k \gt k^2 +k +2 $
の式が明記されていません。
$ 3^{k+1-1} \gt (k+1)^2 -(k+1) +2 $ は成立するか否か分かっていませんので、確かに書いてしまうとおかしな話しになりますが…。
でも
$ 3^{k+1-1} \gt (k+1)^2 -(k+1) +2 $ が成立することを導けばよい。
と、明記したほうが分かり易いと思います。そこから式を変形して $ \textcolor{blue}{3^{k-1} \gt k^2 -k +2} $ が成立することを仮定しているものを利用するほうが良いでしょうよねぇ…。
$ n = k+1 $ で
$ 3^{k+1-1} \gt (k+1)^2 -(k+1) +2 $
が成り立つことを示せばよいから、上式を整理すると
$ 3^k \gt k^2 +k +2 $
変形して
$ 3 \cdot 3^{k-1} -(k^2 +k +2) \gt 0 $
つまり、左辺が正の数になればよい。
ここで $ \textcolor{blue}{3^{k-1} \gt k^2 -k +2} $ を利用すると左辺は
$ 3(k^2 -k +2) -(k^2 +k +2) $
$ = 2k^2 -4k +4 $
$ = 2(k^2 -2k +2) $
$ = 2(k -1)^2 + 2 $
$ 2(k-1)^2 +2 $ は正の数 → $ 2(k-1)^2 +2 \gt 0 $
これより
$ 3 \cdot 3^{k-1} -(k^2 +k +2) \gt 0 $
が示せた。
$ 3^{k+1-1} \gt (k+1)^2 -(k+1) +2 $
が成り立つことを示せばよいから、上式を整理すると
$ 3^k \gt k^2 +k +2 $
変形して
$ 3 \cdot 3^{k-1} -(k^2 +k +2) \gt 0 $
つまり、左辺が正の数になればよい。
ここで $ \textcolor{blue}{3^{k-1} \gt k^2 -k +2} $ を利用すると左辺は
$ 3(k^2 -k +2) -(k^2 +k +2) $
$ = 2k^2 -4k +4 $
$ = 2(k^2 -2k +2) $
$ = 2(k -1)^2 + 2 $
$ 2(k-1)^2 +2 $ は正の数 → $ 2(k-1)^2 +2 \gt 0 $
これより
$ 3 \cdot 3^{k-1} -(k^2 +k +2) \gt 0 $
が示せた。
これのほうが分かり易いとおもいますけどね…。
では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
(休日は充実した日々によって輝きますよね)
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