50代から理数を学ぶ - 樹形図の方が難しい？順列・組み合わせ。

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時空解さんの日記

2017

3月 21

(火)

09:06

樹形図の方が難しい？順列・組み合わせ。

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カテゴリー数学検定

本文

皆さん、おはようございます。時空解です。

昨日の数学の予定は
・実用数学技能検定要点整理３級 4-2 確率の基礎　解説、基本問題、応用問題 (p142～p145)
でした。

たったの２ページです。すぐに終わらせる事はできました(10分)が、ちょっとショックです。応用問題 (3) を解答する時に根本的な間違いを犯してしまいました。

表と樹形図の使い分け。

この使い分けが私はキチンと出来ませんでした。頭が悪いとしか言いようがありません。思い起こすと、数学検定３級の過去問題をやってみて間違えたのも、実は確率の問題です。確率問題が私の３級の合否を握るポイントかも知れません。

そういう訳で昨日は１０分で数学を終えたのですがその後、この応用問題に関する事に付いていろいろとネットで調べる事にしました。

ここで応用問題 (3) を書いておきましょう。

１、２、３、４、５、６、７の７枚の数字が書かれたカードがあります。このカードをよくきって何枚かひいたとき、次の問いに答えなさい。
(3) カードを２枚同時にひくとき、カードに書かれた数の和が５の倍数である確率を求めなさい。

実用数学技能検定要点整理３級 p145 より引用

この問題で、起こりうる全ての事象の数を、私は表を作成して (7 × ７) - 7 = 42 通りと考えてしまったのです。これは全くの間違いです。書籍の答えは 21 通りなのですが、これを樹形図から求めています。それも理解できませんでした。

そこで "樹形図の考え方" をインターネットで調べる事にしました。

その結果、参考になるサイトが１つありました。それがこちら。

この樹形図を描く際に注目した規則性はアルファベットの順番です。ある文字から枝分かれする先には、アルファベット順でその文字より後の文字だけを書く。この独自ルールを適用したんですね。
たとえば、「A-C」の後にはBを書かずにDを書いています。Dの後に来るのは自然とEに決まります。
「A-C」の後にはEを書きません。Eの後にBやDを書いてはいけないというルールなので、Eの後に書ける文字が存在しないからです。同様に、Aの後にDやEも書けません。「A-D-B-C」などの枝はルールに反します。
したがって、Aで始まる枝は「A-C-D-E」で終わっています。同様に、Bで始まる枝は「B-C-D-E」だけです。
規則性に注目して樹形図を描くと、冒頭の問題の答はたった5通りになります。

みみずく先生のプロ家庭教師より引用

うーむ…。

しかしここで説明されている "アルファベット順" と言う規則性がどのように出て来たか？それが問題です。この規則性の正しさが理解できないと、応用問題 (3) は本当に解けたとは言えません
。

もっと良いサイトがないかと検索したのですが、これ以上よいサイトは、昨日の午前中には見当たりませんでした。

さて、昨日の朝の数学学習を終え、出勤した私です。

仕事中、頭の中で応用問題 (3) を考えていた訳ですが…( 仕事は簡単な作業なので大丈夫 ) 。
高校に進学してからの確立の学習で、P と C と言う物を習った事を思い出しました。順列・組み合わせ、と言うやつですね。この考え方を思い出してから、樹形図に出てくるアルファベット順 ( 応用問題 (3) に付いては数字順 ) と言う考え方がイメージ出来るようになりました。C 、コンビネーションの考え方ですね。中学生には、このコンビネーションの説明ではなく、樹形図でないと説明出来ないのでしょうかね？樹形図の方が難しい気もしますが…。

ともかく C 、コンビネーションの考え方とは下記の考え方です。応用問題 (3) の７枚のカードを使って説明してみましょう。
まずは P 、順列を考えてみます。順列とは順番が違えば、それも別物と考えて事象の数とするものです。７枚からまずは１枚目をひく時に何通りのひき方があるかと言うと、カード枚数分。つまり７通りですね。２枚目をひく時は残りのカードが６枚なので、６通り。これを数式にすると
７×６=４２
です。
さて、この４２通りのひき方の中で、順番は違うけどカードの組み合わせ ( C 、コンビネーション ) は同じ事象がどれだけあるのか、それを考えてみましょう。
応用問題 (3) の問いは "合計数が５の倍数" と言う問いなのでカードの順番は関係ありませんね。例えば１+４も４+１も合計が５です。さて、４２通りの中で同じカードの組み合わせはいくつ有るでしょうか？ … "２枚" と言うところがポイントですよね。引いたカードの順番は入れ替わっても事象数は変わりません。１枚目が１、２枚目が４と、１枚目が４、２枚目が１と言う引き方は順列では事象２と数えますが、組み合わせでは事象１です。
ここから、組み合わせは
４２/２=２１通り
と言う事が分かります。

上手い説明ではないかも知れませんが、私は仕事中にこれを考えて納得しました。

しかし、樹形図と言うあまりなじみのない考え方を観た時には首をひねりました。
こんな説明、中学の時に受けたかなぁ…。全く覚えがありません。まぁ覚えがないのでピンと来ない、と言う事なのかも知れませんが。

とにかくアルファベット順に書き出す、数字順に書き出す、と言う意味は順列の中に出てくる複数の事象から、同じ組み合わせの中の１つだけを書き出すための法則なんだと理解できました。

では数学の勉強を始めます。今日の予定は
・実用数学技能検定要点整理３級 4-2 確率の基礎　発展問題、練習問題 (p146～p147)
です。

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