皆さん こんにちは、時空 解です。

参考書「青チャート式数学Ｂ」の第１章、数列がやっとこさっとこ終わったと思いきや。
第２章の統計的な推測で、早くもつまづいています。

統計的な推測の最初の節、確率変数と確率分布のところは、以前に理解をしたつもりだったんですけどね。
これは私の思い違いでした…＿|￣|○

・「確率変数と確率分布」の分散は、２段階の確率変数　１：確率変数 $ X $、確率変数 $ Y $ を経て導く


つい最近学習したつもりでしたが、もう１年以上も前の話し…自身のブログを読み返してみると
 "ややこしくて記号も紛らわしい" 
と「分からないです」宣言がされているだけでした。

それに「イカゲーム」なんか観ちゃってますね。集中してないんじゃないかぁ？　( ^^;
(まぁそんなことはともかく…)

今日は気持ちを切り替えて、確率変数と確率分布の定義を復習していました。

右の画像にも示してありますが、分散を計算する式が重要ですかね…。
確率変数としては、$ X $ と共に $ Y $ と言う定義の仕方もあると言う点も覚えておく必要がありそうですね。

分散 $ V(X) $ は、この $ Y $ の方の確率変数に対して、平均値 (またの名を 期待値…ここも混乱する原因？) を引いて２乗し、それに確率を掛け合わせたものの総和です。これを式にしたものが下記となります。

$ V(X) = \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } (x_k -m)^2 p_k $

分散の意味は？　…と、いつも考えてしまう私ですが、やっと腑に落ちる解釈が出来始めています。
分散は "散らばり具合" の意味ですからね。
$ (x_k -m) $ は確率変数 $ X $ が平均値からどれくらい違っているか (離れているか) を表します。２乗する理由は、プラスとマイナスと言うものを帳消しにするためですよね。
例えば中心からどのくらい離れているのか？散らばり方を距離だとするとマイナスもプラスも有りません。
この散らばり方、もう一つの確率変数 $ Y $ の値それぞれにも確率がある訳で、それを掛けて足し合わせると、全体の散らばり具合が数量として出てくると考えてよい。だから
「この値を指標にしましょう！」
と言うことですよね。
でもこの分散と言う指標。計算がややこしくなる場合が多いと言うことで、下記の変換式も重要となります。

　　　$ V(X) = \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } ({x_k}-m)^2 p_k = \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } ({x_k}^2 -2m x_k +m^2) p_k $
　　　　　　$ = \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } {x_k}^2 p_k -2m \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } x_k p_k +m^2 \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } p_k $　　　ポイントは　$ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } x_k p_k = m $、$ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } p_k = 1 $
　　　　　　$ = \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } {x_k}^2 p_k -m^2 $
　　　　　　$ = E(X^2) - \{ E(X) \}^2 $

上式の変形はポイントに気付ければ理解出来るのですが、結果として出てくる数式 $ E(X^2) - \{ E(X) \}^2 $ はやっぱり記憶し難いです…。

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
(休日は充実した日々によって輝きますよね)