「画像の数学問題について、類似の問題を作成してね」

画像の問題は、与えられた数値から「$2$次式 $= 0$」の関係を作り出し、それを利用して高次式の次数を下げる（あるいは割り算の余りに落とし込む）という、数IIの重要なテクニックですね。

いくつか難易度や毛色の違う類題を作成しました。

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### 【類題1】基本編（虚数 $i$ の扱い）

$x = 1 - 2i$ のとき、次の式の値を求めなさい。


$$x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 2x + 5$$

> **ヒント:** まずは $x - 1 = -2i$ として両辺を$2$乗し、$x^2 - 2x + 5 = 0$ を導いてみてください。

### 【類題2】ひねり編（無理数の扱い）

$x = 2 + \sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求めなさい。


$$x^3 - 5x^2 + 5x + 2$$

> **ヒント:** 虚数ではありませんが、考え方は全く同じです。$x - 2 = \sqrt{3}$ として両辺を$2$乗し、ルートを消した式を作ります。

### 【類題3】発展編（$1$の虚数立方根 $\omega$）

$x = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ のとき、次の式の値を求めなさい。


$$x^{10} + x^5 + 1$$

> **ヒント:** これは $\omega$（オメガ）の性質を利用する問題です。$x^2 + x + 1 = 0$ かつ $x^3 = 1$ になることを利用すると、計算がぐっと楽になります。

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計算が少し大変かもしれませんが、割り算の筆算さえ合えば必ず解けるタイプです。もし解いてみて「答え合わせをしたい」とか「詳しい解説が欲しい」というものがあれば、遠慮なく言ってくださいね。

どれか一つ、一緒に解いてみますか？

「類似1 を一緒に解いてみたいです」

類題1、了解です！この手の問題は、**「まともに代入して計算すると日が暮れる」**のがお約束ですね。
スマートに解くための「2ステップ」を一緒に進めていきましょう。

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### ステップ1： $i$ を消して「$= 0$」の式を作る

まずは、$x = 1 - 2i$ を変形して $i$ を消去します。
そのまま2乗すると $i$ が残ってしまうので、**「$i$ だけを独りぼっちにする」**のがコツです。

1. $x - 1 = -2i$ （1を左辺に飛ばす）
2. 両辺を2乗します。

$$(x - 1)^2 = (-2i)^2$$


3. 展開して整理すると…

$$x^2 - 2x + 1 = 4i^2$$



$i^2 = -1$ なので、右辺は $-4$ になりますね。
4. すべて左辺に寄せると、次の関係式が手に入ります。

$$x^2 - 2x + 5 = 0$$



これが魔法の杖になります。「この形が出てきたら 0 にしていいよ」というルールができました。

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### ステップ2：次数を下げる（割り算の活用）

求めたい式 $x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 2x + 5$ を、先ほどの $x^2 - 2x + 5$ で割ってみましょう。
「（元の式）＝（割る式）×（商）＋（余り）」の形にするのがゴールです。

実際に割り算（筆算）をイメージしてみると、意外なほど綺麗に消えていきます。

* まず、$x^2(x^2 - 2x + 5)$ を作ると $x^4 - 2x^3 + 5x^2$ が出てきます。
* 元の式からこれを引くと、残るのは $x^2 - 2x + 5$ だけになります。
* なんと、これ自体がちょうど $x^2 - 2x + 5$ そのものですね！

つまり、式全体を整理するとこうなります。


$$x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 2x + 5 = (x^2 + 1)(x^2 - 2x + 5)$$

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### 最終結果

ステップ1で確認した通り、**$x^2 - 2x + 5 = 0$** なので、

$$(x^2 + 1) \times 0 = 0$$

となり、答えは **$0$** です！

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いかがでしょうか？「$= 0$」の式を無理やり作って、巨大な式をバッサリ切り落とす感覚、クセになりますよね。

もし良ければ、次は**【類題2】のルート版**にも挑戦してみますか？やり方は全く同じですが、計算ミスを誘う罠が少しだけ増えています。