数学検定準1級の受検、応援しているよ！チカです 。
アップロードしてくれた第455回の問題（2026年2月14日実施）を参考に、計算技能検定（1次）の形式に合わせた類似問題を作成したから、練習に使ってみてね。

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## 準1級 1次：計算技能検定 類似問題

**問題1.** $i$を虚数単位とする。$x = 1 + 2i$のとき、$x^4 - 4x^3 + 9x^2 - 10x + 10$の値を求めなさい。

**問題2.** 次の和を求めなさい。


$$\sum_{k=1}^{48} \frac{1}{k(k+2)}$$

**問題3.** $x > 0$ かつ $2^x + 2^{-x} = 4$ のとき、$8^x - 8^{-x}$ の値を求めなさい。

**問題4.** $i$を虚数単位とする。複素数 $z = 1 + i$, $w = \sqrt{3} + i$ について、次の問いに答えなさい。
(1) $\left| \frac{z}{w} \right|$ の値を求めなさい。
(2) $\left( \frac{z}{w} \right)^8$ の偏角 $\theta$ を求めなさい。ただし、$0 \leqq \theta < 2\pi$ とします。

**問題5.** $xy$ 平面上の双曲線 $9x^2 - 16y^2 - 144 = 0$ について、次の問いに答えなさい。
(1) 漸近線の方程式を求めなさい。
(2) 焦点の座標を求めなさい。

**問題6.** 次の定積分を求めなさい。


$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{2 + \tan x} dx$$

**問題7.** 次の極限値を求めなさい。


$$\lim_{x \to 0} \frac{x \sin 3x}{1 - \cos 2x}$$

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### 解答（確認用）

* **問題1：** $0$
（$x^2 - 2x + 5 = 0$ を利用して次数を下げていくのがコツだよ）
* **問題2：** $\frac{612}{1225}$
（部分分数分解 $\frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2})$ を使おう）
* **問題3：** $24\sqrt{3}$
（$(2^x - 2^{-x})^2 = (2^x + 2^{-x})^2 - 4$ から $2^x - 2^{-x}$ を求めてね）
* **問題4：** (1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$　(2) $\theta = \frac{4}{3}\pi$
* **問題5：** (1) $y = \pm \frac{3}{4}x$　(2) $(5, 0), (-5, 0)$
* **問題6：** $\log_{e} \frac{3}{2}$
* **問題7：** $\frac{3}{2}$

青チャートなどで進めている積分や確率の知識も、この級ではしっかり武器になるから自信を持って解いてみてね。
もし特定の計算方法について詳しく解説が必要だったら、いつでも言ってね！次はどの単元を強化したいかな？
 

ステップアップ形式での練習だね、任せて！第455回の問題をベースに、各問「基礎・ひねり・発展」の3段階で問題を作ったよ。

青チャートなどの問題集で培った力を試すのにちょうどいい難易度を目指してみたから、自分のペースで挑戦してみてね。

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## 数学検定準1級 1次：3ステップ・ドリル

問題1：複素数の代入と多項式の値 

* **【基礎】** $x = 1 + i$ のとき、$x^2 - 2x + 5$ の値を求めなさい。
* **【ひねり】** $x = -1 + 2i$ のとき、$x^3 + 2x^2 + 5x + 8$ の値を求めなさい。
* **【発展】** $x = -2 + i$ のとき、$x^5 + 5x^4 + 11x^3 + 13x^2 + 10x + 5$ の値を求めなさい。

問題2：数列の和（部分分数分解） 

* **【基礎】** 次の和を求めなさい： $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$
* **【ひねり】** 次の和を求めなさい： $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k+2)}$
* **【発展】** 次の和を求めなさい： $\sum_{k=1}^{10} \frac{2}{(k+1)(k+3)}$

問題3：指数法則と対称式 

* **【基礎】** $3^x + 3^{-x} = 3$ のとき、$9^x + 9^{-x}$ の値を求めなさい。
* **【ひねり】** $x > 0$ かつ $4^x + 4^{-x} = 7$ のとき、$8^x - 8^{-x}$ の値を求めなさい。
* **【発展】** $x > 0$ かつ $3^x + 3^{-x} = \sqrt{5}$ のとき、$27^x - 27^{-x}$ の値を求めなさい。

問題4：複素数平面（絶対値と偏角） 

* **【基礎】** $z = 1 + \sqrt{3}i, w = 1 + i$ について、$\left| \frac{z}{w} \right|$ を求めなさい。
* **【ひねり】** $z = \sqrt{3} - i, w = 1 + i$ について、$\left( \frac{z}{w} \right)^{12}$ の値を求めなさい。
* **【発展】** $z = 9 - \sqrt{3}i, w = 2\sqrt{3} + 4i$ について、$\left( \frac{z}{w} \right)^6$ の実部を求めなさい。

問題5：二次曲線（双曲線） 

* **【基礎】** 双曲線 $x^2 - 4y^2 = 4$ の漸近線の方程式を求めなさい。
* **【ひねり】** 双曲線 $4x^2 - 9y^2 + 36 = 0$ の焦点の座標を求めなさい。
* **【発展】** 双曲線 $x^2 - 3y^2 = 3$ の漸近線がなす角 $\theta$ ($0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$) を求めなさい。

問題6：定積分 

* **【基礎】** $\int_{0}^{1} \frac{2x}{x^2 + 1} dx$ を求めなさい。
* **【ひねり】** $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$ を求めなさい。
* **【発展】** $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx$ を求めなさい。

問題7：極限（三角関数） 

* **【基礎】** $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x}$ を求めなさい。
* **【ひねり】** $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{x^2}$ を求めなさい。
* **【発展】** $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^2 2x}{\cos 3x - \cos x}$ を求めなさい。

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## 解答のヒント

1. **問題1：** $x = a + bi$ を変形して $(x-a)^2 = -b^2$ という2次方程式を作り、割り算の余りを利用するのが定石だよ。
2. **問題2：** 分母の差に注目して $\frac{1}{A \cdot B} = \frac{1}{B-A} (\frac{1}{A} - \frac{1}{B})$ と分解しよう。
3. **問題3：** $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$ の関係を使ってマイナスの方を求めてね。
4. **問題4：** 極形式を利用するのが一番速いよ！
5. **問題5：** $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ の形に直せば、漸近線は $y = \pm \frac{b}{a}x$, 焦点は $\sqrt{a^2+b^2}$ で求められるね。
6. **問題6：** 分母を微分したら分子になる形 ($\frac{f'(x)}{f(x)}$) を探してみて。
7. **問題7：** $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ をフル活用しよう。和積の公式を使う場面もあるかも？

まずは気になる問題から解いてみて。答え合わせをしたい問題があれば、いつでも番号を教えてね！次はどの問題の解説が見たいかな？
 

全21問への挑戦、素晴らしい意気込みだね！さすが、数学検定準1級を目指して「青チャート」などで研鑽を積んでいるだけあるよ。

作成した21問の解答を一覧にまとめたから、自己採点に使ってみてね。計算の過程で詰まったところがあれば、いつでも詳しく解説するから声をかけてね。

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## 全21問 解答一覧

| 問題番号 | **【基礎編】** | **【ひねり編】** | **【発展編】** |
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| **問題1** (複素数と多項式) | $3$ | $8$ | $5$ |
| **問題2** (数列の和) | $\frac{n}{n+1}$ | $\frac{325}{462}$ | $\frac{35}{52}$ |
| **問題3** (指数の対称式) | $7$ | $8\sqrt{5}$ | $4$ |
| **問題4** (複素数平面) | $\sqrt{2}$ | $-64$ | $27$ |
| **問題5** (双曲線) | $y = \pm \frac{1}{2}x$ | $(0, \pm \sqrt{13})$ | $\frac{\pi}{3}$ (または $60^\circ$) |
| **問題6** (定積分) | $\log_{e} 2$ | $\log_{e} 2$ | $\log_{e} \frac{3}{2}$ |
| **問題7** (極限) | $5$ | $8$ | $-1$ |

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### 自己採点のポイント

* **問題1：** 割り算の余りを利用して次数を下げるテクニックが使えたかな？
* **問題2：** 分数分解の際に、ひねり編や発展編では「$\frac{1}{2}$」などの係数を忘れていないかチェックしてみてね。
* **問題3：** $x > 0$ という条件から、$2^x - 2^{-x}$ などの値が正になるか負になるかを判断するのがポイントだよ。
* **問題4：** 極形式への変換やド・モアブルの定理をスムーズに使えたら完璧！
* **問題5：** 双曲線の焦点が $x$ 軸上か $y$ 軸上か、式の形（$=1$ か $=-1$ か）でしっかり見極めよう。
* **問題6：** 置換積分や $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log |f(x)|$ の公式が鍵になるよ。
* **問題7：** 三角関数の極限の基本形 $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ にどう持ち込むかが勝負だね。

全部で何問正解できたかな？もし「この問題、答えが合わないな」というものがあれば、解説をリクエストしてね！次はどの問題の解き方を一緒に確認したいかな？