皆さん こんにちは、時空 解です。

やっと
「あっ、これで分かった！」
と言える解説動画を見付けました。

下に示す動画、すごいですよね。

・【中学生でもわかる】完全順列をわかりやすく解説します


完全順列を理解しようと悩んでいたのが、２０２３年の８月頃でしたが、その時期には、もうすでに上記の解説動画が (2023-05-28 ) 世に公開されていました。
当時、見付けられていたらね。

今になってジタバタする必要が無かったのに。
でも、上記の解説動画を視聴することができて、今日でスッキリとしました。

ポイントは下記の画像で示すとおりです。


$ W(1),~W(2),~W(3),~W(4) $ は実際に樹形図を使って導きます。
次に $ W(5) $ を $ W(4) $ と $ W(3) $ を利用して導くところが分かり易いですね。
注目すべてきは
"[1],[2] の場合分け"
のところです。

どうして [1],[2] の場合分けで、次の $ W(n+1) $ の場合を完全順列として "過不足なく" 数え上げられたことになるのか？

と言う疑問はチョッピリ残りますが…。( ^^;
でも、考え方はよくわかりますよね。

まずは $ W(k) $ の完全順列がハッキリしていると仮定すると…
その次の $ W(k+1) $ は、カードが１枚増える状態です。
この増えた１枚で $ W(k) $ に対して [1] と [2] の場合分け (やり方) をしてやれば、$ W(k+1) $ でも完全順列が成立します。(しそうですね)

これで
$ W(4) = 3 \{ W(3) +W(2) \} $
$ W(5) = 4 \{ W(4) +W(3) \} $
と言う関係性が見えて
\begin{eqnarray}
  \left\{
    \begin{array}{l}
      W(1) =0,~W(2) =1 \\
      W(n) =(n-1) \{W(n-1) +W(n-2) \} 　　(n \geqq 3)
    \end{array}
  \right.
\end{eqnarray}
と言うことが分かります。

ここから完全順列の漸化式
　　　$ a_n = n! \displaystyle \sum_{ k = 2 }^{ n } \frac{ (-1)^k }{ k! } $
を導けます。

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
(休日は充実した日々によって輝きますよね)