青チャート式数学III 第１章 関数 1.分数関数・無理関数 基本例題３

(1) 関数 $ y = \displaystyle \frac{ 2 }{ x +3 } $ のグラフと直線 $ y = x +4 $ の共有点の座標を求めよ。
(2) 不等式 $ \displaystyle \frac{ 2 }{ x +3 } \lt x +4 $ を解け。

 解説動画はこちら (1)、(2)

分数不等式を解くとき、もっとも安全で間違いが少ないのは「(1)で求めたグラフと直線の共有位置をもとに、視覚的にグラフの上下関係を判断する」というアプローチです。

なぜなら、不等式を単純に方程式のように両辺に $(x+3)$ を掛けて解こうとすると、**$x+3$ がプラスかマイナスかによって不等号の向きが変わるため、面倒な場合分けが発生して計算ミスが激増するから**です。

それでは、グラフを使ったスマートな解き方をステップ順に解説します！

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### ステップ1：(1)の共有点の座標を確認する

まずは前提として、(1)で求めた共有点（交点）の $x$ 座標が必要になります。簡単におさらいしておきましょう。

2つの式を連立します。


$ \frac{2}{x+3} = x+4 $

両辺に $x+3$ を掛けます（※方程式なので、そのまま掛けて大丈夫です。ただし分母は $0$ にならないので $x \neq -3$ ）。


$ 2 = (x+4)(x+3) $

$ 2 = x^2 + 7x + 12 $

$ x^2 + 7x + 10 = 0 $

$ (x+2)(x+5) = 0 \implies x = -2, -5 $

これで、2つのグラフの交点の $x$ 座標は **$x = -5$** と **$x = -2$** だと分かりました。

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### ステップ2：グラフを描いて視覚的に考える

不等式 

$ \frac{2}{x+3} < x+4 $

 が意味しているのは、
**「分数関数 $y = \frac{2}{x+3}$ のグラフが、直線 $y = x+4$ より【下側】にある $x$ の範囲はどこか？」**
ということです。

それぞれのグラフの位置関係を描いてみましょう。

* **分数関数 $y = \frac{2}{x+3}$:** 漸近線は $x = -3$（分母が $0$ になる場所）と $y = 0$（$x$ 軸）です。
* **直線 $y = x+4$:** 右上がりの直線です。
* **交点の $x$ 座標:** 左側が $x = -5$、右側が $x = -2$ です。

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### ステップ3：直線より「下」にある範囲を読み取る

グラフを見ながら、分数関数（曲線）が直線より下側にあるエリアを探します。
漸近線である **$x = -3$** の境界線をまたぐときにグラフが上下に大きくジャンプするため、ここが重要な分かれ目になります。

1. **$x < -5$ のエリア**
曲線はマイナス方向から上がってきており、直線のずっと下側にあります。
よって、**条件を満たします。**（ $\implies x < -5$ ）
2. **$-5 < x < -3$ のエリア**
曲線は急上昇して、直線の「上側」にあります。
よって、不適です。
3. **$-3 < x < -2$ のエリア**
$x = -3$ を超えると、曲線ははるか下（マイナス無限）から再スタートするため、直線の「下側」になります。
よって、**条件を満たします。**（ $\implies -3 < x < -2$ ）
4. **$x > -2$ のエリア**
交点 $x = -2$ より右側では、曲線は再び直線の「上側」になります。
よって、不適です。

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### 答（不等式の解）

グラフから読み取った、曲線が直線の「下」にある範囲をまとめると、求める解は以下のようになります。

$ x < -5, \quad -3 < x < -2 $

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