第460回 数学検定準１級、２次問題２　類似問題

数列 $ \{ a_n \} $ を $ a_1 = -6 $、$ a_{n+1} = 2a_n +n^2 $ によって定め、
数列 $ \{ b_n \} $ を $ b_1 = -1 $、$ b_{n+1} = 2b_n +n^2 $ によって定めるとき、次の問いに答えなさい。

(1) 数列 $ \{ a_n \} $ の第 $ n $ 項 $ a_n $ は $ n $ の２次式で表されます。
　　　$ a_n = pn^2 + qn +r $　　( $ p,~q,~r,~s $ は定数 )
を満たす $ p,~q,~r $ を求めなさい。この問題は解法の過程を記述せずに、答えだけを書いてください。

(2) $ c_n = b_n -a_n $ によって定まる数列 $ \{ c_n \} $ の第 $ n $ 項 $ c_n $ を求めることにより、
数列 $ \{ b_n \} $ の第 $ n $ 項 $ b_n $ を求めなさい。

第460回 数学検定準１級、２次問題２　類似問題　解答

(1)
$a_n = pn^2 + qn + r$ より、
　　　$a_{n+1} = p(n+1)^2 + q(n+1) + r$

これを展開して整理すると、
　　　$a_{n+1} = pn^2 + (2p + q)n + (p + q + r)$

与えられた漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + n^2$ に、$a_{n+1}$ および $2a_n = 2pn^2 + 2qn + 2r$ を代入して整理すると、
　　　$pn^2 + (2p + q)n + (p + q + r) = 2pn^2 + 2qn + 2r + n^2$
　　　$pn^2 + (2p + q)n + (p + q + r) = (2p + 1)n^2 + 2qn + 2r$

両辺の各次の係数を比較すると、以下の連立方程式が得られます。

1. $p = 2p + 1$
2. $2p + q = 2q$
3. $p + q + r = 2r$

これらを順に解きます。

1. $p = -1$
2. $q = 2p = 2(-1) = -2$
3. $r = p + q = -1 + (-2) = -3$

（※なお、このとき $a_1 = -1 - 2 - 3 = -6$ となり、初期条件 $a_1 = -6$ も満たします。）

　　　答：$p = -1, \quad q = -2, \quad r = -3$

(2)
$c_n = b_n - a_n$ とおきます。
与えられた漸化式
$b_{n+1} = 2b_n + n^2$
$a_{n+1} = 2a_n + n^2$

の辺々を引くと、
$b_{n+1} - a_{n+1} = 2(b_n - a_n)$
$c_{n+1} = 2c_n$

したがって、数列 $\{c_n\}$ は公比 $2$ の等比数列です。

初項 $c_1$ は、
　　　$c_1 = b_1 - a_1 = -1 - (-6) = 5$
よって、数列 $\{c_n\}$ の第 $n$ 項は、

　　　$c_n = 5 \cdot 2^{n-1}$

$b_n = a_n + c_n$ であり、(1)より $a_n = -n^2 - 2n - 3$ であるから、
　　　$b_n = 5 \cdot 2^{n-1} - n^2 - 2n - 3$

　　　答：$c_n = 5 \cdot 2^{n-1}$
　　　　　$b_n = 5 \cdot 2^{n-1} - n^2 - 2n - 3$