第460回 数学検定準１級 ２次問題、問題３　類似問題

$ f(x) = 3x^2 +12x + 20 $ とします。関数 $ y = f(x)~~~(x \geqq -2) $ の逆関数を $ y = g(x) $ とするとき、
次の問いに答えなさい。

(1) $ y = g(x) $ の定義域と $ g(x) $ を求めなさい。この問題は解法の過程を記述せず、答えだけを書いて下さい。

(2) $ xy $平面において、関数 $ y = f(x)~~~(x \geqq -2) $ のグラフ上に点 $ A $、関数 $ y =g(x) $ のグラフ上に点 $ B $ をとるとき、
２点間の距離 $ AB $ の最小値 $ m $ を求めなさい。
( 最小値をとる点 $ A,~~~B $ の座標を答える必要はありません)。

(1) 解答

【利用する公式・定理】
1. 2次関数の平方完成
$$f(x) = a(x - p)^2 + q$$

2. 逆関数の性質
・元の関数 $y = f(x)$ の値域が、逆関数 $y = g(x)$ の定義域となる。
・ $y = f(x)$ の式を $x$ について解き、$x$ と $y$ を入れ替えることで逆関数 $g(x)$ を求める。

【記述解答】
与えられた関数 $y = 3x^2 + 12x + 20 \ (x \geqq -2)$ の右辺を平方完成する。
$y = 3(x + 2)^2 + 8$

$x \geqq -2$ のとき、$x + 2 \geqq 0$ より $(x + 2)^2 \geqq 0$ であるから、
$y \geqq 8$

となる。

元の関数 $y = f(x)$ の値域が逆関数 $y = g(x)$ の定義域となるため、$y = g(x)$ の定義域は、
$\mathbf{x \geqq 8}$

次に、$y = 3(x + 2)^2 + 8 \ (x \geqq -2, y \geqq 8)$ を $x$ について解く。
$y - 8 = 3(x + 2)^2$
$(x + 2)^2 = \frac{y - 8}{3}$

$x \geqq -2$ より $x + 2 \geqq 0$ であるため、正の平方根をとる。
$x + 2 = \sqrt{\frac{y - 8}{3}}$
$x = -2 + \sqrt{\frac{y - 8}{3}}$

ここで $x$ と $y$ を入れ替えることで、逆関数 $g(x)$ が求められる。
$\mathbf{g(x) = -2 + \sqrt{\frac{x - 8}{3}}} \quad \left( \text{または } -2 + \frac{\sqrt{3(x - 8)}}{3} \right)$


(2) 解答

【利用する公式・定理】

1. 逆関数のグラフの対称性
関数 $y = f(x)$ のグラフとその逆関数 $y = g(x)$ のグラフは、直線 $y = x$ に関して線対称である。
2. 点と直線の距離の公式
点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、
$d = \frac{\vert{}a x_0 + b y_0 + c\vert{}}{\sqrt{a^2 + b^2}}$


【記述解答】

$y = f(x)$ と $y = g(x)$ のグラフは直線 $y = x$ に関して線対称である。
したがって、点 A から直線 $y = x$ までの距離の最小値を $d_{\min}$ とすると、2点 A, B 間の距離の最小値 $m$ は対称性より、
$m = 2 d_{\min}$

となる。
点 A の座標を $(t, \, 3t^2 + 12t + 20) \ (t \geqq -2)$ とおくと、点 A と直線 $y = x$ （すなわち $x - y = 0$）との距離 $d(t)$ は、点と直線の距離の公式より、
$d(t) = \frac{\vert{}t - (3t^2 + 12t + 20)\vert{}}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{\vert{}-3t^2 - 11t - 20\vert{}}{\sqrt{2}}$

絶対値記号の中身について整理して平方完成を行う。
$3t^2 + 11t + 20 = 3\left(t + \frac{11}{6}\right)^2 + \frac{119}{12} > 0$

すべての実数 $t$ について常に正であるため、絶対値記号を外すことができる。
$d(t) = \frac{3t^2 + 11t + 20}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ 3\left(t + \frac{11}{6}\right)^2 + \frac{119}{12} \right]$

定義域 $t \geqq -2$ において、$t = -\frac{11}{6} \ (\approx -1.83)$ は範囲内に含まれるため、$d(t)$ は $t = -\frac{11}{6}$ で最小値をとる。
$d_{\min} = \frac{119}{12\sqrt{2}}$

したがって、求める距離 AB の最小値 $m$ は、
$m = 2 d_{\min} = 2 \cdot \frac{119}{12\sqrt{2}} = \frac{119}{6\sqrt{2}} = \mathbf{\frac{119\sqrt{2}}{12}}$