第460回 数学検定準１級 ２次問題、問題５　類似問題

$ n $ を正の整数とし、$ n $ の正の約数の個数を $ d(n) $ で表すことにします。たとえば

　　　$ d(9) = 3 $、$ d(10) = 4 $、$ d(11) =2 $

です。$ d(n) =21 $ を満たす $ n $ のうち、$ 3000 $ にもっとも近い $ n $ の値を求めなさい。

正の整数 $n$ が素因数分解されて $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$ （$p_1, p_2, \dots, p_k$ は互いに異なる素数、$a_1, a_2, \dots, a_k$ は正の整数）と表されるとき、$n$ の正の約数の個数 $d(n)$ は、
$d(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots (a_k + 1)$

$d(n) = 21$ となる $n$ の素因数分解の形を考える。
$21$ を正の整数の積に分解すると、

1. $21 = 21$
2. $21 = 7 \times 3$

の2つのパターンがある。

第460回 数学検定準１級 ２次問題、問題５　類似問題　解答

$d(n) = 21$ となる $n$ の素因数分解の形を考える。
$21$ を正の整数の積に分解すると、

1. $21 = 21$
2. $21 = 7 \times 3$

の2つのパターンがある。

[パターン1] $21 = 21$ の場合
$n = p^{20}$ （$p$ は素数）と表される。

最小の素数 $p = 2$ のとき、
$n = 2^{20} = 1048576$

となり、$3000$ から大きく離れる（差は $\vert{}1048576 - 3000\vert{} = 1045576$）。

[パターン2] $21 = 7 \times 3$ の場合
$n = p^6 q^2$ （$p, q$ は互いに異なる素数）と表される。
$3000$ に近い値を調べるため、$p$ の値ごとに場合分けして考慮する。

　　$p = 2$ のとき： $n = 2^6 \cdot q^2 = 64 q^2$
$q = 5$ のとき： $n = 64 \times 5^2 = 64 \times 25 = 1600$ （差：$\vert{}1600 - 3000\vert{} = 1400$）
$q = 7$ のとき： $n = 64 \times 7^2 = 64 \times 49 = 3136$ （差：$\vert{}3136 - 3000\vert{} = 136$）
$q = 11$ のとき： $n = 64 \times 11^2 = 64 \times 121 = 7744$ （差：$\vert{}7744 - 3000\vert{} = 4744$）

　　$p = 3$ のとき： $n = 3^6 \cdot q^2 = 729 q^2$
$q = 2$ のとき： $n = 729 \times 2^2 = 729 \times 4 = 2916$ （差：$\vert{}2916 - 3000\vert{} = 84$）
$q = 5$ のとき： $n = 729 \times 5^2 = 729 \times 25 = 18225$ （差：$\vert{}18225 - 3000\vert{} = 15225$）

　　$p \geqq 5$ のとき：
$p^6 \geqq 5^6 = 15625$ であり、$q \geqq 2$ より $n \geqq 15625 \times 4 = 62500$ となるため、$3000$ からはより遠くなる。

以上で得られた $n$ の値のうち、$3000$ との差が最小となるものを比較すると、
$n = 2916 \quad (\text{差 } 84)$

である。

したがって、求める $n$ の値は、
$\mathbf{n = 2916}$