第460回 数学検定準１級 ２次問題、問題６(必須)　類似問題

$ \alpha = \sqrt[ 3 ]{ 9 +4 \sqrt{ 5 } } $、$ \beta = \sqrt[ 3 ]{ 9 -4 \sqrt{ 5 } } $ とするとき、次の問いに答えなさい。

(1) $ \alpha^3 + \beta^3 $ の値を求めなさい。この問題は解法の過程を記述せずに、答えだけを書いてください。

(2) $ x = \alpha + \beta $ が３次方程式
　　　$ x^3 +px^2 +qx +r = 0 $　　( $ p,~q,~r~~は整数 $ )
の解となる $ p,~q,~r~$ の組が存在します。$ p,~q,~r~$ の値をそれぞれ求めなさい。

 = 以下、メール全文 =

2026 年8 月7 日

第460 回実用数学技能検定準1 級受検者のみなさま

拝啓時下ますますご清祥のこととお慶び申し上げます。日ごろは当協会の公益事業にご理解賜り厚
く御礼申し上げます。

さて、このたび本年７月11 日に受検してくださった第460 回実用数学技能検定準１級におきまして、
２次問題６(２)の問題文中の表現に誤りがあることが判明いたしました。そのため、本状を準１級を
受検されたみなさまに送付させていただいております。

不備の内容および訂正
【誤】p，q，r の組はただ１つ存在します(このことを証明する必要はありません)。
【正】p，q，r の組が存在します。

本問題は複数の答えが存在する出題形式となっておりますが、問題文中の表記に誤りがあり「答え
が１つに限られる」という誤解を招く記述となっておりました。受検者のみなさまにはご迷惑をおか
けしましたことを、深くお詫び申し上げます。

本件への対応といたしまして、修正後の問題文（複数の答えが存在し得る前提）に基づき、条件を
満たす正しい答えが導き出された解答につきましては、いずれも正解として採点を完了しております。

今後、このような事態を繰り返さぬよう、確認作業の一層の徹底を図ってまいる所存です。略儀で
はございますが、書面をもちまして、訂正してお詫び申し上げます。

敬具

第460回 数学検定準１級 ２次問題、問題６(必須)　類似問題　解答

(1) 解答
【利用する公式・定理】
1. 3乗根（立方根）の定義
実数 $a$ に対し、
$(\sqrt[3]{a})^3 = a$

【記述解答】
$\alpha = \sqrt[3]{9 + 4\sqrt{5}}$、$\beta = \sqrt[3]{9 - 4\sqrt{5}}$ より、両辺を3乗すると以下のようになる。
$\alpha^3 = 9 + 4\sqrt{5}$
$\beta^3 = 9 - 4\sqrt{5}$

したがって、$\alpha^3 + \beta^3$ の値は、
$\alpha^3 + \beta^3 = (9 + 4\sqrt{5}) + (9 - 4\sqrt{5}) = \mathbf{18}$


(2) 解答
【利用する公式・定理】

1. 根号の乗法公式
$\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{ab}$

2. 和の3乗の展開公式
$(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$

【記述解答】
まず、$\alpha\beta$ の値を求める。
$\alpha\beta = \sqrt[3]{9 + 4\sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt[3]{(9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sqrt{5})}$

根号の中身について計算する。
$(9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sqrt{5}) = 9^2 - (4\sqrt{5})^2 = 81 - 80 = 1$

よって、
$\alpha\beta = \sqrt[3]{1} = 1$

次に、$x = \alpha + \beta$ の両辺を3乗し、展開公式を適用する。
$x^3 = (\alpha + \beta)^3 = \alpha^3 + \beta^3 + 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

ここで、(1) より $\alpha^3 + \beta^3 = 18$、および $\alpha\beta = 1$、$\alpha + \beta = x$ を代入する。
$x^3 = 18 + 3 \cdot 1 \cdot x$
$x^3 - 3x - 18 = 0$

この方程式を $x^3 + px^2 + qx + r = 0$ と比較すると、各係数はそれぞれ $x^2$ の係数が $0$、$x$ の係数が $-3$、定数項が $-18$ となる。

したがって、求める $p, q, r$ の値は、
$\mathbf{p = 0, \quad q = -3, \quad r = -18}$