第460回 数学検定準１級 ２次問題、問題７(必須)　類似問題

$ xy $ 平面上に $ y = \displaystyle \frac{ 1 }{ 3x +1 }　\left( x \gt - \frac{ x }{ 3 } \right) $ で表される曲線 $ C $ があります。
曲線 $ C $ 上の点 $ P $ における接線が点 $ \left(  \displaystyle - \frac{ 1 }{ 3 },~\frac{2}{7} \right) $ を通るとき、次の問いに答えなさい。

(1) 点 $ P $ の座標を求めなさい。

(2) 曲線 $ C $ と $ y $ 軸の交点を $ Q $ とし、$ C $ と線分 $ PQ $ で囲まれた図形を $ D $ とします。
$ D $ を $ x $ 軸の周りに１回転してできる回転体の体積 $ V $ を求めなさい。

第460回 数学検定準１級 ２次問題、問題７(必須)　類似問題　解答

(1) 解答
【利用する公式・定理】
1. 合成関数の微分公式
$f(x) = (3x + 1)^{-1} \implies f'(x) = -1 \cdot (3x + 1)^{-2} \cdot 3 = -\frac{3}{(3x + 1)^2}$

2. 曲線上の点における接線の方程式
曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, \, f(t))$ における接線の方程式は、
$y - f(t) = f'(t)(x - t)$

【記述解答】
曲線 $C: y = f(x) = \frac{1}{3x+1} \ (x > -\frac{1}{3})$ について、導関数は、
$f'(x) = -\frac{3}{(3x+1)^2}$

となる。
点 $\text{P}$ の $x$ 座標を $t \left(t > -\frac{1}{3}\right)$ とおくと、点 $\text{P}$ の座標は $\left(t, \, \frac{1}{3t+1}\right)$ であり、点 $\text{P}$ における接線の方程式は、
$y - \frac{1}{3t+1} = -\frac{3}{(3t+1)^2}(x - t)$

と表される。
この接線が点 $\left(-\frac{1}{3}, \, \frac{2}{7}\right)$ を通るので、$x = -\frac{1}{3}$、$y = \frac{2}{7}$ を代入する。
$\frac{2}{7} - \frac{1}{3t+1} = -\frac{3}{(3t+1)^2} \left(-\frac{1}{3} - t\right)$

右辺の分子を整理すると、
$-\frac{3}{(3t+1)^2} \left(-\frac{3t+1}{3}\right) = \frac{3t+1}{(3t+1)^2} = \frac{1}{3t+1}$

となる。
したがって、
$\frac{2}{7} - \frac{1}{3t+1} = \frac{1}{3t+1}$
$\frac{2}{7} = \frac{2}{3t+1}$
$3t + 1 = 7$
$3t = 6 \implies t = 2$

$t = 2$ は $t > -\frac{1}{3}$ を満たす。
このとき、点 $\text{P}$ の $y$ 座標は $\frac{1}{3 \cdot 2 + 1} = \frac{1}{7}$ となる。

したがって、点 $\text{P}$ の座標は、
$\mathbf{\left(2, \, \frac{1}{7}\right)}$


(2) 解答
【利用する公式・定理】
1. 2点を通る直線の方程式
2点 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ を通る直線の方程式は、
$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$

2. $x$ 軸周りの回転体の体積*
区間 $[a, b]$ において $g(x) \geqq f(x) \geqq 0$ であるとき、2曲線 $y = g(x)$，$y = f(x)$ と $x = a$，$x = b$ で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積 $V$ は、
$V = \pi \int_{a}^{b} \left( \{g(x)\}^2 - \{f(x)\}^2 \right) dx$


【記述解答】

曲線 $C$ と $y$ 軸の交点 $\text{Q}$ の $x$ 座標は $0$ であるから、$\text{Q}$ の座標は $\left(0, \, 1\right)$ である。
線分 $\text{PQ}$ を含む直線の方程式を $y = g(x)$ とすると、2点 $\text{Q}(0, 1)$，$\text{P}\left(2, \frac{1}{7}\right)$ を通ることから、
$g(x) = \frac{\frac{1}{7} - 1}{2 - 0} x + 1 = -\frac{3}{7}x + 1$

となる。
区間 $0 \leqq x \leqq 2$ において、曲線 $y = f(x)$ は下に凸の曲線であるため、弦である線分 $\text{PQ}$ の方が上側に位置する。すなわち、$g(x) \geqq f(x) \geqq 0$ が成り立つ。

図形 $D$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる回転体の体積 $V$ は、
$V = \pi \int_{0}^{2} \left( \{g(x)\}^2 - \{f(x)\}^2 \right) dx = \pi \int_{0}^{2} \left(1 - \frac{3}{7}x\right)^2 dx - \pi \int_{0}^{2} \frac{1}{(3x+1)^2} dx$

それぞれの定積分を計算する。
(1) 直線側の積分
$\int_{0}^{2} \left(1 - \frac{3}{7}x\right)^2 dx = \left[ -\frac{7}{9} \left(1 - \frac{3}{7}x\right)^3 \right]_{0}^{2} = -\frac{7}{9} \left( \left(\frac{1}{7}\right)^3 - 1^3 \right) = -\frac{7}{9} \left( \frac{1 - 343}{343} \right) = \frac{38}{49}$

(2) 曲線側の積分
$\int_{0}^{2} \frac{1}{(3x+1)^2} dx = \left[ -\frac{1}{3(3x+1)} \right]_{0}^{2} = -\frac{1}{3} \left( \frac{1}{7} - 1 \right) = \frac{2}{7}$

したがって、求める体積 $V$ は、
$V = \pi \left( \frac{38}{49} - \frac{2}{7} \right) = \pi \left( \frac{38 - 14}{49} \right) = \mathbf{\frac{24}{49}\pi}$