青チャート式数学III、第２章 極限、3.数列の極限　基本例題１８

第 $ n $ 項が次の式で表される数列の極限を求めよ。
(1),(2),(4),(5)：省略
(3)　$ \sqrt{ n^2 +2n } -n $

青チャート式数学の解答
$ \displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\sqrt{ n^2 +2n } -n) = \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \frac{ n^2 +2n -n^2 }{ \sqrt{ n^2 +2n } +n } = \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \frac{ 2n }{ \sqrt{ n^2 +2n } +n } = \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \frac{ 2 }{ \sqrt{ 1 + \displaystyle \frac{ 2 }{ n } } +1 } =1 $

(解説動画はこちら)

私の解答
$ \sqrt{ n^2 +2n } -n
= \sqrt{ n^2 \left( 1 + \displaystyle \frac{ 2 }{ n } \right) } -n = n \sqrt{1 + \displaystyle \frac{ 2 }{ n } } -n = n \left( \sqrt{1 + \displaystyle \frac{ 2 }{ n } } -1 \right) $

　　　$ \therefore \displaystyle \lim_{ n \to \infty } n \left( \sqrt{1 + \displaystyle \frac{ 2 }{ n } } -1 \right)  = 0 $

## 結論：先に n でくくるのは間違いではありません。間違っているのは最後の1行です。

途中の変形はすべて正しいです。

$$
\sqrt{n^2+2n}-n = n\left(\sqrt{1+\frac{2}{n}}-1\right) \quad \text{← ここまでは正しい}
$$

問題は最後の「＝0」の部分です。おそらく次のように考えたのだと思います。

> $ \sqrt{1+  \displaystyle {\frac{2}{n}} } -1 $ → $ \sqrt{1} − 1 = 0 $ だから、$ n × 0 = 0 $

でも実際は、n → ∞ と同時に $ \displaystyle {\frac{2}{n}} -1 $ → 0 なので、この式は **∞ × 0 の不定形**です。
n でくくったことで、∞ − ∞ の不定形が ∞ × 0 の不定形に**形を変えただけ**で、まだ不定形は解消されていません。

## なぜ ∞ × 0 は「0」と決められないのか

「0 に近づく」ことと「0 である」ことは違います。
∞ × 0 の答えは、**0 に近づく速さと、∞ に発散する速さのどちらが勝つか**で決まります。

| 式 | 極限 |
|---|---|
| n × (1/n²) | 1/n → **0**（0 に近づく方が速い） |
| n × (1/n) | 1 → **1**（速さが同じで打ち消し合う） |
| n × (1/√n) | √n → **∞**（∞ に発散する方が速い） |

どれも「∞ × 0 の形」ですが、答えはバラバラです。だから「×0 だから 0」とは言えません。

## この問題では実際にどうなっているか

関数電卓で (√(1+2/n) − 1) の値を計算してみると、

| n | √(1+2/n) − 1 | n × (√(1+2/n) − 1) |
|---|---|---|
| 100 | 0.00995… | 0.995… |
| 10000 | 0.0000999950… | 0.99995… |

となり、√(1+2/n) − 1 は**ほぼ 1/n** の大きさで 0 に近づいています。
つまり上の表の「n × (1/n)」型で、n と打ち消し合って **1** に近づくわけです。

## 先にくくった式から正しく解くなら

あなたの式の続きで、括弧の中を有理化すれば正しく解けます。

$$
n\left(\sqrt{1+\frac{2}{n}}-1\right)
= n\cdot\frac{\left(1+\dfrac{2}{n}\right)-1}{\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}+1}
= n\cdot\frac{\dfrac{2}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}+1}
= \frac{2}{\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}+1}
\to \frac{2}{2}=1
$$

有理化によって「0 に近づく部分」から 2/n を取り出し、外の n と**約分**できました。これで不定形が解消されます。

## まとめ
- 最高次でくくること自体は間違っていません。ただし、くくっても **∞ − ∞ が ∞ × 0 に変わるだけ**で、不定形は残ります。
- 不定形が残っている間は、極限をとってはいけません。
- 有理化の役割は、**差 −1 の中に隠れている「1/n くらいの大きさ」を表に出して、外の n と約分できるようにすること**です。
だから「有理化 → 最高次で割る」の順番にすると、一度で不定形が解消されます。