みなさん、こんにちは。
今日も数の体系から、自然数の定義として良く知られている、ペアノの公理に付いて感じたことを書いてみたいと思います。Wikipedia にも記載されているのですが、「自然数がどんなものかは子供でも簡単に理解できるが、その定義は簡単ではない」と書かれています。ところがペアノの公理に目を通してから改めて考えてみると、本当に人は何を持って、「自分は理解できた」と実感しているのでしょうか？そんな疑問が、私の頭には湧いてしまいます。

Wikipedia より、自然数の公理（ペアノの公理）
・自然数 1 が存在する。
・任意の自然数 a にはその後者 (successor) の自然数 suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
・異なる自然数は異なる後者を持つ。つまり a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。（ある種の単射性）
・1 はいかなる自然数の後者でもない（1 より前の自然数は存在しない）。
・1 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。
最後の公理は、数学的帰納法を正当化するものである。また、上の公理に現れる数字は 1 だけであり、自然数 1 からすべての自然数が作り出されることを意味している。一方、この公理の "1" を "0" に置き換えれば、自然数 0, 1, 2, 3, … を作り出せる。

このように自然数は定義されるようですが、まずは１が存在する、と言うところでは、単位となる物があるよ、と言っているのでしょう。先日のブログにも書きました、リンゴとかメロンと言う事です。
最後の、１がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 usc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす、と言う記述ですが、これが数学的帰納法を正当化するものなのですか…。数学的帰納法と言うこれが、人が「分かった」と実感する一つの考え方なのでしょうか？
私がまだ中学生、高校生だった頃、既に「分かった」とはどんな状態なのか、と言う疑問を持ってはいましたが、しかし数学の授業は勝手に進んで行きましたし、また内容にも付いて行けました。テストの問題も解けました。当たり前ですが…。「分かった」と言う事はどういう事かは解らなくても、数学の問題は解けるのです。自覚とはなんなのでしょうかね。
今日も暑いですね。これから冷たい物でも飲んで、頭をリフレッシュしましょうか。
ではこの辺で。