みなさん、こんにちは。
昨日は整数に付いてみてみましたので、今日は数の体系の内の有理数に付いて、Wikipedia で見てみました。そしたら、学生時代にとても興味を抱いた問題点に触れている部分がありましたので、ここに引用してみたいと思います。

Wikipedia より
有理数を十進法などの位取り記数法を用いて小数表示した場合、どの有理数も位取りの基数のとり方に関わらず有限小数または循環小数のいずれかとなる（もちろん、ある基数で表示したとき有限小数となる有理数が、別の基数では循環小数となったりすること、あるいはその逆になることはある）。同様に、有理数は必ず有限正則連分数展開を持つ。

有限正則連分数展開はさておき、学生時代に七進数とか五進数の割り算計算をしてみた事があったのですが、その時に気づいたことがありました。「十進数の時よりも割り切れなくなる事が多くなるな」と言う事です。二進数の計算になるともう殆どが割り切れなくなって、循環小数になります。この理由はちょっと考えれば分かる事ですが、始めて経験した時には普通「十進数の時には割り切れるのに、他の進数にすると割り切れなくて、循環小数になるので、数の性質が変わってしまうのか？」と言う印象を持ってしまう事でしょう。
位取りの基数の取り方によって、数は有限小数になったり循環小数になったりするんですね。それで良いのですね。Wikipedia にもそう書かれています。
例えば長さが同じ物を２つ用意しましょう。それをゼロ（０）から１までの長さとします。この間に、適当な場所に印（×）を付けます。
下図参照

この図を見てピンと来る方もいるでしょう。印が付いているところ（×）が丁度分割する場所と一致するのが有限小数です。例えば十進数で印（×）の位置の数を表現しようと考えた場合、図の長さを十等分（分割する場所は九箇所）した時に、その分割点が丁度印（×）と一致すれば、それが有限小数です。図では 0.6 と言う表記になります。これを五進数で考えるとどうなるでしょうか？九箇所の分割点が、こんどは四箇所の分割点に減ります。分割点が丁度印（×）と一致する確率は減る事がお分かりかと思います。上図ではたまたま一致しているように書いてあり、 0.3 （五進）と表記できます。

ともかく数が表記方法によって循環小数になったり有限小数になったりする事は、私に取って驚きでした。これを知った時には
「では素数の本質って何だ？」
と言う思いが頭をよぎりました。素数を考える場合、いつも十進数表記の数で考えますよね。みなさんも一緒ですよね。それを七進数とか、違う基数で考えた場合、複雑な事が起こりそうです。これは是が非でも勉強をして、納得の行く答えを先人から知りたい物です。自分で考えていたら時間がいくらあっても足らない気がします。
では今日はこの辺で。素数に付いてはまたいずれ…。