50代から理数を学ぶ - ２重の絶対値記号にハマっていました

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時空解さんの日記

2017

7月 26

(水)

09:19

２重の絶対値記号にハマっていました

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カテゴリー数学

本文

みなさん、おはようございます。時空解です。

始めに一昨日の事ですが、このサイト「50代から理数を学ぶ」にまた新規登録してくださった方がいらっしゃいました！
登録して頂いた方、ありがとうございます。これでお２人目です。特に優れたサービスを提供出来ている訳でもないのに嬉しい限りです。ブログを続けているおかげかなぁとも思っているのですが、同時に会員が増えて行くと責任も感じる次第です。
これからもより良いサイトにして行こうと思っていますので宜しくお願いいたしますね。

さて、数学の学習の方ですがずっと参考書「改訂版基礎からの数学I+A」の p125 Exercises 54(2) にハマっていました。関数に２重の絶対値記号が含まれている問題です。
絶対値記号を見ると直ぐに場合分けをしたくなってしまいませんか？私はこれでハマっていました。

と言う事で、今日は p125 Exercises 54(2) に付いて書いてみます。

次の関数 f(x) の最小値とそのときの x の値を求めよ。
f(x) = | x + |3x -24||

とりあえずは、内側の絶対値記号内の 3x - 24 に注目して定義域を区切ります。
3x -24 = 0 を解いて x = 8
従って場合分けは、まずは下記のようになりますよね。

(1) x < 8
(2) 8 ≦ x

この (1)、(2) の場合分けそれぞれに付いて f(x) は
(1) の時の f(x) = | x -(3x -24) | = | -2x +24 |
(2) の時の f(x) = | x +(3x -24) | = | 4x -24 |
となります。

さて、私はこの後の処理でハマっていました。上記の二つの関数 | -2x +24 | と | 4x -24 | の絶対値記号をどう扱えばよいでしょうか？
参考書で勉強していると、この絶対値記号に対しても、つい下記のように場合分けをしたくなります。

(1) の時の f(x) を場合分けするために -2x + 24 = 0 とすると
x = 12 となるので x < 12, 12 ≦ x

(2) の時の f(x) を場合分けするために 4x -24 = 0 とすると
x = 6 とできるので x < 6, 6 ≦ x

こうすると初めに行った場合分けと今回の場合分けとが出て来ましたので、これを合わせると
x = 6, 8, 12 の３つを考慮して、下記の a, b, c, d ４つの場合分けが出てきます。

a: x < 6
b: 6 ≦ x < 8
c: 8 < x ≦ 12
d: 12 < x

この４つの場合分けを、さて、どのように与式 f(x) = | x + |3x -24|| に対応させたらよいのでしょうか？

こう考え出すと、頭の中が混乱してしまいます。私だけかも知れませんが、気を付けましょう。
------

正しく考えるためには、(1)、(2) の場合分けをした
(1) の時の f(x) = | x -(3x -24) | = | -2x +24 |
(2) の時の f(x) = | x +(3x -24) | = | 4x -24 |

の時点で、いったん f(x) の関数と定義域の関係について考えてみるべきでした。ホンのちょっと、下のように書いてみるだけでよかったのです。

(1) x < 8 の時 f(x) = | -2x +24 |
(2) 8 ≦ x の時 f(x) = | 4x -24 |

(1) の場合は x が８よりも小さい数字なのだから | -2x +24 | の中の (-2x +24) は正の数しか取れません。
つまり | -2x +24 | > 0 です。したがって絶対値記号を取り除いて

f(x) = -2x +24 …ただし x > 8

(2)の場合は x が 8 以上の数字なのだから | 4x -24 | の中の ( 4x -24) は正の数しか取れません。
つまり | 4x -24 | > 0 です。したがって絶対値記号を取り除いて

f(x) = 4x -24 …ただし 8 ≦ x

このように与式 f(x) = | x + |3x -24|| の内側の絶対値記号の場合分けをした時に、出て来た関数を冷静に眺めて見れば、そこで答えにたどり付けたのですよね。機械的に外側の絶対値記号の場合分けを考えださずに済んだはずです。
( 因みに、答えは x = 8 の時で最小値は 8 )
少し絶対値記号に慣れて来ると、直ぐに場合分けを機械的にやってしまうようになりがちですが、気を付けましょう。そうしないと私のように、無駄な場合分けに振り回される事になってしまいます。

数学検定日の前からこの問題にハマってしまっていたのですが、昨日やって抜け出せました。きっと検定の事が気になって気持ちにゆとり (？) が無かったのでしょう。参考書の答えを見てもなかなかピンと来ませんでした。

しかしやっと次に進めます。
では今日はこの辺で、また１日を始めます。

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